Номер 1141, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1141, страница 227.

Условие.

1141.При каком значении x верно равенство:

1) $5^x \cdot 5^6 = 5^{24};$

2) $(3^m)^x = 3^{5m};$

3) $2^x \cdot 2^m = 2^{6m};$

4) $(4^x)^{3m} = 4^{6m^2};$

где $m$ – натуральное число?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дано равенство: $5^x \cdot 5^6 = 5^{24}$.

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим это свойство к левой части равенства:

$5^{x+6} = 5^{24}$

Поскольку основания степеней в обеих частях равенства одинаковы (равны 5), мы можем приравнять их показатели:

$x + 6 = 24$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 24 - 6$

$x = 18$

Ответ: $x=18$.

2)

Дано равенство: $(3^m)^x = 3^{5m}$.

Для решения используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим это свойство к левой части равенства:

$3^{m \cdot x} = 3^{5m}$

$3^{mx} = 3^{5m}$

Так как основания степеней равны (равны 3), приравниваем их показатели:

$mx = 5m$

В условии сказано, что $m$ — натуральное число, следовательно, $m \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $m$:

$x = \frac{5m}{m}$

$x = 5$

Ответ: $x=5$.

3)

Дано равенство: $2^x \cdot 2^m = 2^{6m}$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части равенства:

$2^{x+m} = 2^{6m}$

Основания степеней равны (равны 2), поэтому можем приравнять показатели:

$x + m = 6m$

Выразим $x$ из полученного уравнения:

$x = 6m - m$

$x = 5m$

Ответ: $x=5m$.

4)

Дано равенство: $(4^x)^{3m} = 4^{6m^2}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для левой части равенства:

$4^{x \cdot 3m} = 4^{6m^2}$

$4^{3mx} = 4^{6m^2}$

Так как основания степеней равны (равны 4), приравниваем их показатели:

$3mx = 6m^2$

Поскольку $m$ — натуральное число, то $m \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $3m$:

$x = \frac{6m^2}{3m}$

Сокращаем дробь:

$x = 2m$

Ответ: $x=2m$.