Номер 1144, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1144, страница 227.

Условие.

1144. Сравните значения выражений:

1) $15^5 \cdot 2^6$ и $2^5 \cdot 15^6$;

2) $2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^4$ и $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сравним значения выражений $15^5 \cdot 2^6$ и $2^5 \cdot 15^6$.

Для сравнения преобразуем каждое выражение, выделив общую часть. Общая часть для оснований 15 и 2 — это произведение их в наименьших степенях, встречающихся в выражениях, то есть $15^5 \cdot 2^5$.

Первое выражение: $15^5 \cdot 2^6 = 15^5 \cdot 2^5 \cdot 2^1 = (15 \cdot 2)^5 \cdot 2 = 30^5 \cdot 2$.

Второе выражение: $2^5 \cdot 15^6 = 2^5 \cdot 15^5 \cdot 15^1 = (2 \cdot 15)^5 \cdot 15 = 30^5 \cdot 15$.

Теперь необходимо сравнить полученные произведения: $30^5 \cdot 2$ и $30^5 \cdot 15$. Поскольку множитель $30^5$ является общим и положительным, результат сравнения зависит от вторых множителей, то есть 2 и 15.

Так как $2 < 15$, то и $30^5 \cdot 2 < 30^5 \cdot 15$. Следовательно, $15^5 \cdot 2^6 < 2^5 \cdot 15^6$.

Ответ: $15^5 \cdot 2^6 < 2^5 \cdot 15^6$.

2) Сравним значения выражений $2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^4$ и $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^5$.

Выделим в обоих выражениях общую часть. Общей частью будет произведение оснований в наименьших степенях: $2^4$, $3^5$, $5^4$. Таким образом, общая часть — это $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^4$.

Преобразуем первое выражение: $2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^4 = (2^4 \cdot 2^1) \cdot (3^5 \cdot 3^3) \cdot 5^4 = (2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^4) \cdot (2^1 \cdot 3^3)$.

Преобразуем второе выражение: $2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^5 = 2^4 \cdot 3^5 \cdot (5^4 \cdot 5^1) = (2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^4) \cdot 5^1$.

Теперь сравним оставшиеся после выделения общей части множители: $2^1 \cdot 3^3$ и $5^1$.

Вычислим их значения: $2^1 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$. $5^1 = 5$.

Так как $54 > 5$, то и первое исходное выражение больше второго.

Ответ: $2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^4 > 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^5$.