Номер 1142, страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Упражения для повторения курса 7 класса - номер 1142, страница 227.

Условие.

1142. Являются ли тождественно равными выражения:

1) $-a^2$ и $(-a)^2$;

2) $-a^3$ и $(-a)^3$;

3) $(a^3)^2$ и $a^5$;

4) $9a \cdot a^2$ и $(3a)^2 \cdot a$;

5) $(a^4)^3$ и $(a^2)^6$;

6) $(2a)^3 \cdot (0.5a)^2$ и $2a^4a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сравним выражения $-a^2$ и $(-a)^2$.
Второе выражение $(-a)^2$ можно упростить: $(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.
Таким образом, мы сравниваем $-a^2$ и $a^2$.
Эти выражения равны только при $a=0$. Для всех остальных значений $a$ они не равны (например, при $a=1$, получаем $-1$ и $1$).
Следовательно, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

2) Сравним выражения $-a^3$ и $(-a)^3$.
Упростим второе выражение: $(-a)^3 = (-1 \cdot a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$.
Таким образом, мы сравниваем $-a^3$ и $-a^3$.
Эти выражения равны для любого значения переменной $a$.
Следовательно, выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.

3) Сравним выражения $(a^3)^2$ и $a^5$.
Упростим первое выражение, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.
Теперь сравним $a^6$ и $a^5$.
Эти выражения равны только при $a=0$ или $a=1$.
Следовательно, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

4) Сравним выражения $9a \cdot a^2$ и $(3a)^2 \cdot a$.
Упростим первое выражение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$9a \cdot a^2 = 9a^1 \cdot a^2 = 9a^{1+2} = 9a^3$.
Упростим второе выражение:
$(3a)^2 \cdot a = (3^2 \cdot a^2) \cdot a = 9a^2 \cdot a^1 = 9a^{2+1} = 9a^3$.
Оба выражения равны $9a^3$.
Следовательно, выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.

5) Сравним выражения $(a^4)^3$ и $(a^2)^6$.
Упростим оба выражения, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
Первое выражение: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.
Второе выражение: $(a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}$.
Оба выражения равны $a^{12}$.
Следовательно, выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.

6) Сравним выражения $(2a)^3 \cdot (0,5a)^2$ и $2a^4a$.
Упростим первое выражение:
$(2a)^3 \cdot (0,5a)^2 = (2^3 \cdot a^3) \cdot (0,5^2 \cdot a^2) = (8a^3) \cdot (0,25a^2) = (8 \cdot 0,25) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 2a^{3+2} = 2a^5$.
Упростим второе выражение:
$2a^4a = 2 \cdot a^4 \cdot a^1 = 2a^{4+1} = 2a^5$.
Оба выражения равны $2a^5$.
Следовательно, выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.