Номер 6, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Задание № 7 «Проверь себя» в тестовой форм - номер 6, страница 223.

Условие.

6. При каком значении $a$ система уравнений $ \begin{cases} 3x + y = 4, \\ x - ay = -6 \end{cases} $ не имеет решений?

А) $3$

Б) $-3$

В) $ \frac{1}{3} $

Г) $ -\frac{1}{3} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений в том случае, если графики этих уравнений являются параллельными прямыми, не совпадающими друг с другом.

В общем виде система выглядит так:$\begin{cases}A_1x + B_1y = C_1 \\A_2x + B_2y = C_2\end{cases}$

Условием того, что система не имеет решений, является пропорциональность коэффициентов при переменных $x$ и $y$ и их непропорциональность свободным членам:$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2} $

Рассмотрим данную систему уравнений:$\begin{cases}3x + y = 4 \\x - ay = -6\end{cases}$

Здесь коэффициенты равны: $A_1 = 3$, $B_1 = 1$, $C_1 = 4$ и $A_2 = 1$, $B_2 = -a$, $C_2 = -6$.

Подставим эти значения в условие отсутствия решений:$ \frac{3}{1} = \frac{1}{-a} \ne \frac{4}{-6} $

Сначала решим первую часть равенства, чтобы найти значение $a$:$ \frac{3}{1} = \frac{1}{-a} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:$ 3 \cdot (-a) = 1 \cdot 1 $$ -3a = 1 $$ a = -\frac{1}{3} $

Теперь необходимо проверить, выполняется ли вторая часть условия (неравенство) при найденном значении $a$:$ \frac{1}{-a} \ne \frac{4}{-6} $

Подставим $a = -\frac{1}{3}$:$ \frac{1}{-(-1/3)} \ne -\frac{2}{3} $$ \frac{1}{1/3} \ne -\frac{2}{3} $$ 3 \ne -\frac{2}{3} $

Неравенство верно. Таким образом, при $a = -\frac{1}{3}$ система уравнений не имеет решений.

Ответ: Г) $ -\frac{1}{3} $