Номер 1136, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1136, страница 222.

Условие.

1136. Найдите такие значения $x$, при которых выражение $(a - 1)^2 + 4(a - 1) - x$ можно представить в виде квадрата суммы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы данное выражение можно было представить в виде квадрата суммы, оно должно быть полным квадратом.

Формула квадрата суммы (полного квадрата) имеет вид: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Рассмотрим данное выражение: $(a-1)^2 + 4(a-1) - x$.

Чтобы упростить анализ, введем замену. Пусть $y = a-1$. Тогда выражение примет вид:

$y^2 + 4y - x$

Теперь мы должны привести это выражение к виду $A^2 + 2AB + B^2$.

Сравнивая $y^2 + 4y - x$ с формулой полного квадрата, мы можем определить компоненты $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ соответствует $y^2$. Следовательно, $A=y$.

2. Второй член $2AB$ соответствует $4y$. Подставляя $A=y$, получаем $2 \cdot y \cdot B = 4y$. Отсюда находим $B$: $B = \frac{4y}{2y} = 2$.

3. Третий член в формуле полного квадрата должен быть $B^2$. Так как мы нашли, что $B=2$, то $B^2 = 2^2 = 4$.

Таким образом, чтобы выражение $y^2 + 4y - x$ было полным квадратом, оно должно быть равно $(y+2)^2 = y^2 + 4y + 4$.

Приравниваем наше выражение к этому полному квадрату:

$y^2 + 4y - x = y^2 + 4y + 4$

Из этого равенства следует, что свободные члены должны быть равны:

$-x = 4$

$x = -4$

Проверим результат. Если $x=-4$, исходное выражение становится:

$(a-1)^2 + 4(a-1) - (-4) = (a-1)^2 + 4(a-1) + 4$

Это выражение соответствует формуле $(A+B)^2$, где $A = a-1$ и $B=2$.

$((a-1)+2)^2 = (a+1)^2$

Таким образом, при $x=-4$ выражение действительно можно представить в виде квадрата суммы.

Ответ: $x = -4$.