Номер 1130, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1130, страница 222.

Условие.

1130. Представьте выражение $12ab$ в виде разности квадратов двух много-членов. Сколько решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Представление выражения $12ab$ в виде разности квадратов двух многочленов

Для представления выражения в виде разности квадратов двух многочленов воспользуемся тождеством, которое выражает произведение через разность квадратов: $PQ = \left(\frac{P+Q}{2}\right)^2 - \left(\frac{Q-P}{2}\right)^2$.

Наша задача — представить выражение $12ab$ в виде произведения двух многочленов $P$ и $Q$ таким образом, чтобы выражения $X = \frac{P+Q}{2}$ и $Y = \frac{Q-P}{2}$ также были многочленами, причем с целыми коэффициентами. Это возможно, если у многочленов $P$ и $Q$ коэффициенты при одинаковых степенях переменных имеют одинаковую четность (т.е. оба четные или оба нечетные).

Разобьем $12ab$ на два множителя $P$ и $Q$. В кольце многочленов с целыми коэффициентами множители $P$ и $Q$ должны быть одночленами. Пусть $P = c_1 a^{i_1} b^{j_1}$ и $Q = c_2 a^{i_2} b^{j_2}$, где $c_1 c_2 = 12$, $i_1+i_2=1$ и $j_1+j_2=1$.

Произведение коэффициентов $c_1 c_2 = 12$ является четным числом. Если бы оба коэффициента были нечетными, их произведение было бы нечетным. Значит, хотя бы один из них четный. Если один коэффициент четный, а другой нечетный, их сумма и разность будут нечетными, что при делении на 2 даст нецелые коэффициенты в $X$ и $Y$. Следовательно, оба коэффициента $c_1$ и $c_2$ должны быть четными. Пары целых четных чисел, произведение которых равно 12, это $(2, 6)$ и $(-2, -6)$ (а также их перестановки).

Рассмотрим варианты разбиения $12ab$ на множители $P$ и $Q$ с четными коэффициентами (пары с отрицательными коэффициентами приводят к тем же квадратам многочленов):

1. Пусть множители $P=2$ и $Q=6ab$. Оба коэффициента (2 и 6) четные.
   $X = \frac{2+6ab}{2} = 1+3ab$
   $Y = \frac{6ab-2}{2} = 3ab-1$
   Тогда $12ab = (1+3ab)^2 - (3ab-1)^2$.
2. Пусть множители $P=6$ и $Q=2ab$. Оба коэффициента (6 и 2) четные.
   $X = \frac{6+2ab}{2} = 3+ab$
   $Y = \frac{2ab-6}{2} = ab-3$
   Тогда $12ab = (3+ab)^2 - (ab-3)^2$.
3. Пусть множители $P=2a$ и $Q=6b$. Оба коэффициента (2 и 6) четные.
   $X = \frac{2a+6b}{2} = a+3b$
   $Y = \frac{6b-2a}{2} = 3b-a$
   Тогда $12ab = (a+3b)^2 - (3b-a)^2$.
4. Пусть множители $P=6a$ и $Q=2b$. Оба коэффициента (6 и 2) четные.
   $X = \frac{6a+2b}{2} = 3a+b$
   $Y = \frac{2b-6a}{2} = b-3a$
   Тогда $12ab = (3a+b)^2 - (b-3a)^2$.

Ответ: Выражение $12ab$ можно представить в виде разности квадратов, например, как $(a+3b)^2 - (3b-a)^2$. Все возможные представления: $12ab = (a+3b)^2 - (3b-a)^2$; $12ab = (3a+b)^2 - (b-3a)^2$; $12ab = (1+3ab)^2 - (3ab-1)^2$; $12ab = (3+ab)^2 - (ab-3)^2$.

Сколько решений имеет задача?

Решением задачи является представление выражения $12ab$ в виде $X^2 - Y^2$, где $X$ и $Y$ — многочлены. Если подразумеваются многочлены с целыми коэффициентами, то, как показано выше, существует 4 уникальных способа это сделать. Каждый способ соответствует уникальной паре квадратов многочленов $\{X^2, Y^2\}$. Мы перебрали все возможные разложения $12ab$ на множители, которые удовлетворяют условиям для получения многочленов с целыми коэффициентами, и нашли 4 таких решения.

Стоит отметить, что если бы допускались многочлены с рациональными или действительными коэффициентами, задача имела бы бесконечно много решений. Например, можно было бы взять $P=ca$ и $Q=\frac{12}{c}b$ для любого ненулевого числа $c$. Однако в стандартном курсе алгебры под "многочленами" обычно подразумеваются многочлены с целыми коэффициентами.

Ответ: В классе многочленов с целыми коэффициентами задача имеет 4 решения.