Номер 1127, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1127, страница 221.

Условие.

1127. (Задача Л.Н. Толстого.) Вышла в поле артель косарей. Она должна выкосить два луга, из которых один в два раза больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а вторая начала косить меньший. До вечера большой луг был скошен, а от меньшего остался участок, который скосил на следующий день один косарь, работавший целый день. Сколько косарей было в артели?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $x$ — искомое число косарей в артели. Примем за единицу работы (производительность) работу, которую выполняет один косарь за один полный день. Тогда за полдня один косарь выполняет $\frac{1}{2}$ единицы работы.

Пусть площадь меньшего луга равна $S$ условных единиц, тогда площадь большего луга, который в два раза больше, равна $2S$.

Определим объем выполненной работы на большом лугу. В первую половину дня на нем работала вся артель, то есть $x$ косарей. Объем выполненной работы составил: $x \times \frac{1}{2} = \frac{x}{2}$.

Во вторую половину дня на большом лугу работала половина артели, то есть $\frac{x}{2}$ косарей. Объем выполненной ими работы составил: $\frac{x}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$.

Поскольку к вечеру большой луг был скошен, его общая площадь равна сумме работ, выполненных за день:
$2S = \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{2x + x}{4} = \frac{3x}{4}$.

Теперь определим объем работы на меньшем лугу. Во вторую половину дня на нем работала вторая половина артели, $\frac{x}{2}$ косарей, и выполнила объем работы: $\frac{x}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{x}{4}$.

На следующий день оставшийся участок скосил один косарь, работавший целый день. Он выполнил 1 единицу работы. Таким образом, общая площадь меньшего луга равна:
$S = \frac{x}{4} + 1$.

Мы получили систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} 2S = \frac{3x}{4} \\ S = \frac{x}{4} + 1 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое. Для этого сначала выразим $2S$ из второго уравнения, умножив его на 2:
$2S = 2 \left( \frac{x}{4} + 1 \right) = \frac{2x}{4} + 2 = \frac{x}{2} + 2$.

Теперь приравняем правые части выражений для $2S$:
$\frac{3x}{4} = \frac{x}{2} + 2$.

Для решения уравнения умножим все его члены на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4 \cdot \frac{3x}{4} = 4 \cdot \frac{x}{2} + 4 \cdot 2$
$3x = 2x + 8$
$3x - 2x = 8$
$x = 8$.

Следовательно, в артели было 8 косарей.

Ответ: 8 косарей.