Номер 1126, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1126, страница 221.

Условие.

1126. Существует ли двузначное число, удовлетворяющее таким условиям: цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц, а разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна:

1) 20;

2) 18?

Если такое число существует, найдите его.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть искомое двузначное число можно записать в виде $10a + b$, где $a$ – это цифра в разряде десятков, а $b$ – цифра в разряде единиц. При этом, поскольку число двузначное, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ – любой цифрой от 0 до 9.

Согласно первому условию, цифра десятков на 2 больше цифры единиц. Это можно выразить уравнением: $a = b + 2$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет равно $10b + a$.

Разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке, вычисляется так:

$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$.

Теперь мы можем подставить в это выражение наше первое условие, $a = b + 2$, из которого следует, что разность $a - b = 2$.

$9(a - b) = 9 \cdot 2 = 18$.

Это означает, что для любого двузначного числа, которое удовлетворяет первому условию (цифра десятков на 2 больше цифры единиц), разность между ним и его "перевёрнутой" версией всегда будет равна 18. Теперь рассмотрим оба случая из вопроса.

1) Может ли разность быть равна 20?

Мы установили, что при выполнении первого условия разность всегда равна 18. Поскольку $18 \ne 20$, два условия (цифра десятков на 2 больше цифры единиц и разность равна 20) противоречат друг другу. Следовательно, такого двузначного числа не существует.

Ответ: нет, не существует.

2) Может ли разность быть равна 18?

Да, как мы показали, это условие выполняется для всех чисел, у которых цифра десятков на 2 больше цифры единиц. Чтобы найти все такие числа, переберём все возможные значения цифр $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $a = b + 2$:

• Если $b = 0$, то $a = 2$. Число 20.
• Если $b = 1$, то $a = 3$. Число 31.
• Если $b = 2$, то $a = 4$. Число 42.
• Если $b = 3$, то $a = 5$. Число 53.
• Если $b = 4$, то $a = 6$. Число 64.
• Если $b = 5$, то $a = 7$. Число 75.
• Если $b = 6$, то $a = 8$. Число 86.
• Если $b = 7$, то $a = 9$. Число 97.

При $b=8$ значение $a$ будет равно 10, что уже не является цифрой. Поэтому мы перечислили все возможные варианты.

Ответ: да, такое число существует. Это любое из чисел: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.