Номер 1131, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1131, страница 222.

Условие.

1131. Докажите, что при любом целом значении $a$ значение выражения $ (a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a $ делится нацело на 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 3 при любом целом значении $a$, необходимо упростить данное выражение.

Рассмотрим выражение: $(a-3)(a^2-a+2) - a(a-2)^2 + 2a$.

Выполним преобразования по частям.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:

$(a-3)(a^2-a+2) = a \cdot a^2 - a \cdot a + a \cdot 2 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-a) - 3 \cdot 2 = a^3 - a^2 + 2a - 3a^2 + 3a - 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 - (a^2 + 3a^2) + (2a + 3a) - 6 = a^3 - 4a^2 + 5a - 6$.

2. Упростим вторую часть выражения, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

$-a(a-2)^2 = -a(a^2 - 4a + 4) = -a \cdot a^2 - a \cdot (-4a) - a \cdot 4 = -a^3 + 4a^2 - 4a$.

3. Теперь объединим все части и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - 4a^2 + 5a - 6) + (-a^3 + 4a^2 - 4a) + 2a = a^3 - 4a^2 + 5a - 6 - a^3 + 4a^2 - 4a + 2a$.

Сгруппируем их:

$(a^3 - a^3) + (-4a^2 + 4a^2) + (5a - 4a + 2a) - 6 = 0 + 0 + 3a - 6 = 3a - 6$.

4. В полученном выражении $3a - 6$ вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(a - 2)$.

По условию задачи, $a$ является целым числом. Следовательно, выражение $(a - 2)$ также является целым числом. Произведение числа 3 на любое целое число всегда кратно 3, то есть делится на 3 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения при любом целом $a$ делится нацело на 3.

Ответ: Утверждение доказано.