Номер 1118, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1118, страница 220.

Условие.

1118.Автобус и маршрутное такси выезжают ежедневно навстречу друг другу по расписанию в 8 ч из городов Вишнёвое и Яблоневое, расстояние между которыми 18 км, и встречаются в 8 ч 10 мин. Однажды автобус выехал по расписанию, а такси — с опозданием в 8 ч 9 мин. Поэтому в тот день они встретились в 8 ч 15 мин. Найдите скорости автобуса и маршрутного такси.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $v_а$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_т$ — скорость маршрутного такси в км/ч. Расстояние между городами Вишнёвое и Яблоневое составляет 18 км.

Ситуация 1: Обычный день
Автобус и такси выезжают одновременно в 8:00 и встречаются в 8:10. Время их совместного движения до встречи составляет $10$ минут. Переведем это время в часы: $t_1 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_а + v_т$. За время $t_1$ они вместе преодолевают всё расстояние между городами. Составим первое уравнение: $(v_а + v_т) \cdot t_1 = 18$ $(v_а + v_т) \cdot \frac{1}{6} = 18$ $v_а + v_т = 18 \cdot 6$ $v_а + v_т = 108$

Ситуация 2: День с опозданием такси
Автобус выехал по расписанию в 8:00, а такси — с опозданием в 8:09. Они встретились в 8:15. Найдем время в пути для каждого транспортного средства до момента встречи:

• Время в пути автобуса: $t_а = 8:15 - 8:00 = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.
• Время в пути такси: $t_т = 8:15 - 8:09 = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.

Расстояние, которое проехал автобус до встречи: $S_а = v_а \cdot t_а = v_а \cdot \frac{1}{4}$. Расстояние, которое проехало такси до встречи: $S_т = v_т \cdot t_т = v_т \cdot \frac{1}{10}$. Сумма пройденных ими расстояний равна расстоянию между городами. Составим второе уравнение: $S_а + S_т = 18$ $\frac{1}{4}v_а + \frac{1}{10}v_т = 18$

Решение системы уравнений
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} v_а + v_т = 108 \\ \frac{1}{4}v_а + \frac{1}{10}v_т = 18 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $v_а$: $v_а = 108 - v_т$ Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{1}{4}(108 - v_т) + \frac{1}{10}v_т = 18$ $27 - \frac{1}{4}v_т + \frac{1}{10}v_т = 18$ $27 - 18 = \frac{1}{4}v_т - \frac{1}{10}v_т$ $9 = (\frac{5}{20} - \frac{2}{20})v_т$ $9 = \frac{3}{20}v_т$ Теперь находим скорость такси $v_т$: $v_т = \frac{9 \cdot 20}{3} = 3 \cdot 20 = 60$ (км/ч). Подставим найденное значение $v_т$ в выражение для $v_а$: $v_а = 108 - 60 = 48$ (км/ч).

Ответ: скорость автобуса 48 км/ч, скорость маршрутного такси 60 км/ч.