Номер 1111, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1111, страница 219.

Условие.

1111. Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, а две другие уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 24 $см^2$. Найдите стороны данного прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть стороны данного прямоугольника равны $a$ см и $b$ см.

По условию, периметр прямоугольника равен 28 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$.
Составим первое уравнение: $2(a + b) = 28$
$a + b = 14$

Площадь исходного прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.

Согласно условию, две противоположные стороны увеличили на 6 см, а две другие уменьшили на 2 см. Пусть новые стороны равны $(a + 6)$ см и $(b - 2)$ см. Площадь нового прямоугольника равна $S_2 = (a + 6)(b - 2)$.

Известно, что новая площадь на 24 см² больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 24$.
Составим второе уравнение: $(a + 6)(b - 2) = a \cdot b + 24$

Раскроем скобки и упростим второе уравнение: $ab - 2a + 6b - 12 = ab + 24$
$-2a + 6b = 24 + 12$
$-2a + 6b = 36$
Разделим обе части уравнения на 2: $-a + 3b = 18$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 14 \\ -a + 3b = 18 \end{cases} $$

Сложим первое и второе уравнения системы: $(a + b) + (-a + 3b) = 14 + 18$
$4b = 32$
$b = 8$

Подставим найденное значение $b$ в первое уравнение ($a + b = 14$): $a + 8 = 14$
$a = 14 - 8$
$a = 6$

Таким образом, стороны данного прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Проверка:
Периметр: $2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.
Исходная площадь: $6 \cdot 8 = 48$ см².
Новые стороны: $6 + 6 = 12$ см и $8 - 2 = 6$ см.
Новая площадь: $12 \cdot 6 = 72$ см².
Увеличение площади: $72 - 48 = 24$ см².
Все условия задачи выполняются.

Ответ: 6 см и 8 см.