Номер 1115, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1115, страница 220.

Условие.

1115. Велосипедист проехал из пункта $A$ в пункт $B$ за намеченное время, двигаясь с некоторой скоростью. Если бы он увеличил скорость на $3 \text{ км/ч}$, то прибыл бы в пункт $B$ на $1 \text{ ч}$ раньше, а если бы он проезжал за час на $2 \text{ км}$ меньше, то прибыл бы на $1 \text{ ч}$ позже. Найдите скорость велосипедиста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость велосипедиста, $t$ (ч) — запланированное время в пути, а $S$ (км) — расстояние от пункта А до пункта В.

Основная формула, связывающая эти величины: $S = v \cdot t$.

Рассмотрим первое условие: если бы скорость была на 3 км/ч больше, то есть $(v + 3)$ км/ч, то время в пути было бы на 1 час меньше, то есть $(t - 1)$ ч. Расстояние $S$ при этом не меняется. Составим уравнение:

$S = (v + 3)(t - 1)$

Так как $S = v \cdot t$, получаем:

$v \cdot t = (v + 3)(t - 1)$

$vt = vt - v + 3t - 3$

$v - 3t = -3$

Рассмотрим второе условие: если бы велосипедист проезжал за час на 2 км меньше, то есть его скорость была бы $(v - 2)$ км/ч, то он прибыл бы на 1 час позже, то есть затратил бы $(t + 1)$ ч. Расстояние $S$ также не меняется. Составим второе уравнение:

$S = (v - 2)(t + 1)$

Приравняем к исходному выражению для $S$:

$v \cdot t = (v - 2)(t + 1)$

$vt = vt + v - 2t - 2$

$v - 2t = 2$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $v$ и $t$:

$\begin{cases} v - 3t = -3 \\ v - 2t = 2 \end{cases}$

Для решения системы выразим $v$ из второго уравнения:

$v = 2t + 2$

Теперь подставим это выражение для $v$ в первое уравнение системы:

$(2t + 2) - 3t = -3$

$2 - t = -3$

$-t = -3 - 2$

$-t = -5$

$t = 5$ (часов) — это запланированное время.

Теперь, зная время, найдем первоначальную скорость велосипедиста, подставив значение $t=5$ в выражение для $v$:

$v = 2t + 2 = 2 \cdot 5 + 2 = 10 + 2 = 12$ (км/ч).

Ответ: 12 км/ч.