Номер 1113, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1113, страница 219.

Условие.

1113. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 45 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход и встретились через 3 ч после начала движения. Если бы велосипедист выехал на 1 ч 15 мин раньше, чем вышел пешеход, то они встретились бы через 2 ч после выхода пешехода. С какой скоростью двигался каждый из них?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $v_в$ км/ч — скорость велосипедиста, а $v_п$ км/ч — скорость пешехода.

1. Анализ первого условия.

Велосипедист и пешеход движутся навстречу друг другу. Их общая скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей: $v_в + v_п$. Они встретились через 3 часа, преодолев вместе расстояние 45 км. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$(v_в + v_п) \cdot 3 = 45$

Разделим обе части уравнения на 3:

$v_в + v_п = 15$

2. Анализ второго условия.

Велосипедист выехал на 1 час 15 минут раньше пешехода. Переведём это время в часы:

$1 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч } = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч } = 1.25 \text{ ч }$

Они встретились через 2 часа после выхода пешехода. Это означает, что пешеход был в пути 2 часа, а велосипедист был в пути на 1.25 часа дольше, то есть $2 + 1.25 = 3.25$ часа.

Расстояние, которое проехал велосипедист, равно $3.25 \cdot v_в$. Расстояние, которое прошёл пешеход, равно $2 \cdot v_п$. Сумма этих расстояний равна 45 км. Составляем второе уравнение:

$3.25 \cdot v_в + 2 \cdot v_п = 45$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_в + v_п = 15 \\ 3.25 \cdot v_в + 2 \cdot v_п = 45 \end{cases}$

Выразим $v_в$ из первого уравнения:

$v_в = 15 - v_п$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3.25 \cdot (15 - v_п) + 2 \cdot v_п = 45$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$48.75 - 3.25 \cdot v_п + 2 \cdot v_п = 45$

$48.75 - 1.25 \cdot v_п = 45$

$1.25 \cdot v_п = 48.75 - 45$

$1.25 \cdot v_п = 3.75$

$v_п = \frac{3.75}{1.25} = 3$

Итак, скорость пешехода равна 3 км/ч.

Теперь найдём скорость велосипедиста, подставив найденное значение $v_п$ в первое уравнение:

$v_в = 15 - v_п = 15 - 3 = 12$

Скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость пешехода — 3 км/ч.