Номер 1117, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1117, страница 220.

Условие.

1117. Расстояние между двумя станциями пассажирский поезд проходит на 3 ч быстрее, чем товарный, а поезд-экспресс — на 1 ч быстрее, чем пассажирский. Скорость товарного поезда на 25 км/ч меньше скорости пассажирского, а скорость экспресса на 15 км/ч больше скорости пассажирского. Найдите скорость каждого поезда и расстояние между станциями.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $v_п$ (км/ч) — скорость пассажирского поезда, $t_п$ (ч) — его время в пути, а $S$ (км) — расстояние между станциями.

Исходя из условий задачи, выразим скорости и время других поездов через переменные пассажирского поезда:

• Скорость товарного поезда: $v_т = v_п - 25$ (км/ч)
• Время товарного поезда: $t_т = t_п + 3$ (ч)
• Скорость поезда-экспресса: $v_э = v_п + 15$ (км/ч)
• Время поезда-экспресса: $t_э = t_п - 1$ (ч)

Расстояние $S$ между станциями одинаково для всех поездов. Оно вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Мы можем составить систему уравнений, так как расстояние, пройденное каждым поездом, одно и то же.

Приравняем расстояние, которое проехал пассажирский поезд, к расстоянию, которое проехал товарный поезд:
$v_п \cdot t_п = v_т \cdot t_т$
$v_п t_п = (v_п - 25)(t_п + 3)$
Раскроем скобки:
$v_п t_п = v_п t_п + 3v_п - 25t_п - 75$
Приведем подобные члены:
$0 = 3v_п - 25t_п - 75$
$3v_п - 25t_п = 75$ (Уравнение 1)

Теперь приравняем расстояние пассажирского поезда и поезда-экспресса:
$v_п \cdot t_п = v_э \cdot t_э$
$v_п t_п = (v_п + 15)(t_п - 1)$
Раскроем скобки:
$v_п t_п = v_п t_п - v_п + 15t_п - 15$
Приведем подобные члены:
$0 = -v_п + 15t_п - 15$
$v_п = 15t_п - 15$ (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными. Подставим выражение для $v_п$ из Уравнения 2 в Уравнение 1:
$3(15t_п - 15) - 25t_п = 75$
$45t_п - 45 - 25t_п = 75$
$20t_п = 120$
$t_п = \frac{120}{20} = 6$ (часов)

Мы нашли время движения пассажирского поезда. Теперь найдем его скорость, подставив значение $t_п$ в Уравнение 2:
$v_п = 15 \cdot 6 - 15 = 90 - 15 = 75$ (км/ч)

Зная скорость пассажирского поезда, мы можем найти скорости остальных поездов:
Скорость товарного поезда: $v_т = 75 - 25 = 50$ (км/ч)
Скорость поезда-экспресса: $v_э = 75 + 15 = 90$ (км/ч)

Осталось найти расстояние между станциями, используя данные для любого из поездов, например, для пассажирского:
$S = v_п \cdot t_п = 75 \cdot 6 = 450$ (км)

Ответ: Скорость товарного поезда — 50 км/ч, скорость пассажирского поезда — 75 км/ч, скорость поезда-экспресса — 90 км/ч, а расстояние между станциями — 450 км.