Номер 1114, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1114, страница 220.

Условие.

1114. Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Через 2 ч после начала движения они ещё не встретились, а расстояние между ними составляло 6 км. Ещё через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта $B$ на 4 км меньше, чем другому до пункта $A$. Найдите скорость каждого туриста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость туриста, вышедшего из пункта А, и $v_2$ км/ч — скорость туриста, вышедшего из пункта B. Общее расстояние $S = 24$ км.

По условию, через 2 часа после начала движения туристы ещё не встретились, и расстояние между ними составляло 6 км. Это означает, что суммарно они прошли расстояние, равное разнице между начальным и оставшимся расстоянием:

$2 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2 = 24 - 6$

$2(v_1 + v_2) = 18$

Разделив обе части на 2, получим первое уравнение системы:

$v_1 + v_2 = 9$

Далее, ещё через 2 часа (то есть через $2+2=4$ часа после начала движения) первый турист (из A) прошёл $4v_1$ км, и ему осталось до пункта B расстояние $S_{ост1} = 24 - 4v_1$ км. Второй турист (из B) прошёл $4v_2$ км, и ему осталось до пункта A расстояние $S_{ост2} = 24 - 4v_2$ км.

По условию, оставшееся расстояние для одного туриста на 4 км меньше, чем для другого. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Туристу, идущему из А в В, осталось пройти на 4 км меньше, чем туристу, идущему из В в А.

$S_{ост1} = S_{ост2} - 4$

$24 - 4v_1 = (24 - 4v_2) - 4$

$24 - 4v_1 = 20 - 4v_2$

$4v_2 - 4v_1 = 20 - 24$

$4(v_2 - v_1) = -4$

$v_1 - v_2 = 1$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ v_1 - v_2 = 1 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим $2v_1 = 10$, откуда $v_1 = 5$ км/ч. Тогда $v_2 = 9 - v_1 = 9 - 5 = 4$ км/ч.

Случай 2: Туристу, идущему из В в А, осталось пройти на 4 км меньше, чем туристу, идущему из А в В.

$S_{ост2} = S_{ост1} - 4$

$24 - 4v_2 = (24 - 4v_1) - 4$

$24 - 4v_2 = 20 - 4v_1$

$4v_1 - 4v_2 = 20 - 24$

$4(v_1 - v_2) = -4$

$v_1 - v_2 = -1$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 9 \\ v_1 - v_2 = -1 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим $2v_1 = 8$, откуда $v_1 = 4$ км/ч. Тогда $v_2 = 9 - v_1 = 9 - 4 = 5$ км/ч.

Оба случая приводят к одному и тому же набору скоростей для двух туристов.

Ответ: Скорость одного туриста 4 км/ч, а скорость другого — 5 км/ч.