Номер 1116, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1116, страница 220.

Условие.

1116. Груз перевезли на некотором количестве машин с одинаковой грузоподъёмностью. Если бы на каждой машине груза было на 1 т больше, то машин понадобилось бы на 3 меньше, а если бы на 2 т больше, то машин понадобилось бы на 5 меньше. Найдите массу перевезённого груза.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $n$ — первоначальное количество машин, а $c$ — первоначальная масса груза на одной машине (грузоподъёмность) в тоннах. Тогда общая масса перевезённого груза $M$ составляет:

$M = n \cdot c$

Из условия задачи известно, что если бы на каждой машине груза было на 1 тонну больше ($c + 1$), то машин понадобилось бы на 3 меньше ($n - 3$). Общая масса груза при этом не изменилась бы:

$M = (n - 3)(c + 1)$

Также известно, что если бы на каждой машине было на 2 тонны груза больше ($c + 2$), то машин понадобилось бы на 5 меньше ($n - 5$). Общая масса груза также осталась бы прежней:

$M = (n - 5)(c + 2)$

Так как масса груза $M$ во всех случаях одинакова, мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения:

$ \begin{cases} nc = (n - 3)(c + 1) \\ nc = (n - 5)(c + 2) \end{cases} $

Раскроем скобки и упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$nc = nc + n - 3c - 3$

Вычтем $nc$ из обеих частей:

$0 = n - 3c - 3$

$n = 3c + 3$

Второе уравнение:

$nc = nc + 2n - 5c - 10$

Вычтем $nc$ из обеих частей:

$0 = 2n - 5c - 10$

$2n = 5c + 10$

Теперь у нас есть система из двух более простых уравнений:

$ \begin{cases} n = 3c + 3 \\ 2n = 5c + 10 \end{cases} $

Подставим выражение для $n$ из первого уравнения во второе:

$2(3c + 3) = 5c + 10$

$6c + 6 = 5c + 10$

$6c - 5c = 10 - 6$

$c = 4$

Таким образом, первоначальная грузоподъёмность одной машины составляла 4 тонны.

Теперь найдём первоначальное количество машин $n$, подставив значение $c = 4$ в выражение $n = 3c + 3$:

$n = 3 \cdot 4 + 3 = 12 + 3 = 15$

Изначально было 15 машин.

Наконец, вычислим общую массу перевезённого груза $M$:

$M = n \cdot c = 15 \cdot 4 = 60$

Масса перевезённого груза составляет 60 тонн.

Ответ: 60 т.