Номер 1107, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1107, страница 219.

Условие.

1107. Известно, что 25 % одного числа равно 20 % другого числа, а $ \frac{1}{6} $ первого числа на 4 меньше 40 % другого. Найдите данные числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть первое искомое число — это $x$, а второе искомое число — это $y$.

Из условия задачи известно, что 25% первого числа равно 20% другого. Переведем проценты в десятичные дроби и составим первое уравнение:

$0.25x = 0.20y$

Второе условие гласит, что $\frac{1}{6}$ первого числа на 4 меньше 40% второго. Это означает, что если к $\frac{1}{6}$ первого числа прибавить 4, то получится 40% второго. Составим второе уравнение:

$\frac{1}{6}x + 4 = 0.4y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 0.25x = 0.20y \\ \frac{1}{6}x + 4 = 0.4y \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала упростим первое уравнение, умножив обе его части на 100:

$25x = 20y$

Разделим обе части на 5:

$5x = 4y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = \frac{4}{5}y$ или $x = 0.8y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$\frac{1}{6}(0.8y) + 4 = 0.4y$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$\frac{0.8}{6}y + 4 = 0.4y$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а число — в левую:

$4 = 0.4y - \frac{0.8}{6}y$

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных для удобства вычислений: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

$4 = \frac{2}{5}y - \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5}y$

$4 = \frac{2}{5}y - \frac{4}{30}y$

$4 = \frac{2}{5}y - \frac{2}{15}y$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$4 = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}y - \frac{2}{15}y$

$4 = \frac{6}{15}y - \frac{2}{15}y$

$4 = \frac{4}{15}y$

Теперь найдем $y$:

$y = 4 \div \frac{4}{15} = 4 \cdot \frac{15}{4} = 15$

Мы нашли второе число, оно равно 15. Теперь найдем первое число, используя ранее полученное соотношение $x = 0.8y$:

$x = 0.8 \cdot 15 = 12$

Первое число равно 12.

Проверим найденные значения.

1. 25% от 12: $0.25 \cdot 12 = 3$. 20% от 15: $0.20 \cdot 15 = 3$. Первое условие ($3=3$) выполняется.

2. $\frac{1}{6}$ от 12: $\frac{1}{6} \cdot 12 = 2$. 40% от 15: $0.4 \cdot 15 = 6$. Число 2 на 4 меньше числа 6 ($6 - 2 = 4$). Второе условие выполняется.

Ответ: 12 и 15.