Номер 1090, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1090, страница 217.

Условие.

1090. Из села на станцию вышел пешеход. Через 30 мин из этого села на станцию выехал велосипедист и догнал пешехода через 10 мин после выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим скорость пешехода как $v_п$ (в км/ч), а скорость велосипедиста — как $v_в$ (в км/ч).

Из условия задачи следует, что пешеход вышел на 30 минут раньше велосипедиста. Велосипедист догнал пешехода через 10 минут после своего выезда. Следовательно, к моменту встречи пешеход был в пути 30 мин + 10 мин = 40 минут, а велосипедист — 10 минут.

Преобразуем время в часы для удобства расчетов:

Время движения пешехода до встречи: $t_п = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Время движения велосипедиста до встречи: $t_в = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Так как к моменту встречи они оба прошли одинаковое расстояние от села, мы можем приравнять их пути ($S = v \cdot t$):

$S_п = S_в$

$v_п \cdot t_п = v_в \cdot t_в$

$v_п \cdot \frac{2}{3} = v_в \cdot \frac{1}{6}$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе его части на 6:

$6 \cdot v_п \cdot \frac{2}{3} = 6 \cdot v_в \cdot \frac{1}{6}$

$4v_п = v_в$

Это наше первое уравнение, связывающее скорости.

Второе условие гласит, что за 3 часа пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса (0,5 часа). Запишем это в виде уравнения:

$3 \cdot v_п = 0.5 \cdot v_в + 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_в = 4v_п \\ 3v_п = 0.5v_в + 4 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:

$3v_п = 0.5 \cdot (4v_п) + 4$

$3v_п = 2v_п + 4$

$3v_п - 2v_п = 4$

$v_п = 4$

Таким образом, скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, подставив значение $v_п$ в первое уравнение:

$v_в = 4 \cdot v_п = 4 \cdot 4 = 16$

Скорость велосипедиста составляет 16 км/ч.

Ответ: скорость пешехода равна 4 км/ч, а скорость велосипедиста — 16 км/ч.