Номер 1089, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1089, страница 217.

Условие.

1089. С двух станций, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда, которые встретились через 3 ч после начала движения. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше, чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $v_п$ км/ч — скорость пассажирского поезда, а $v_т$ км/ч — скорость товарного поезда.

Согласно первому условию, поезда отправились одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Расстояние между станциями составляет 300 км. При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей поездов, то есть $(v_п + v_т)$ км/ч. За 3 часа они вместе преодолели 300 км. Составим первое уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:
$(v_п + v_т) \cdot 3 = 300$
Разделим обе части уравнения на 3:
$v_п + v_т = 100$

Согласно второму условию, если бы пассажирский поезд вышел на 1 час раньше товарного, они бы встретились через 2,4 часа после выхода товарного поезда. Это означает, что товарный поезд был в пути 2,4 часа, а пассажирский поезд был в пути $2,4 + 1 = 3,4$ часа.
За это время пассажирский поезд прошел расстояние $3,4 \cdot v_п$ км, а товарный поезд — $2,4 \cdot v_т$ км. Сумма этих расстояний равна исходному расстоянию между станциями. Составим второе уравнение:
$3,4 \cdot v_п + 2,4 \cdot v_т = 300$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} v_п + v_т = 100 \\ 3,4v_п + 2,4v_т = 300 \end{cases} $$ Выразим $v_п$ из первого уравнения:
$v_п = 100 - v_т$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3,4 \cdot (100 - v_т) + 2,4 \cdot v_т = 300$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_т$:
$340 - 3,4v_т + 2,4v_т = 300$
$340 - v_т = 300$
$v_т = 340 - 300$
$v_т = 40$

Таким образом, скорость товарного поезда составляет 40 км/ч.
Теперь найдем скорость пассажирского поезда, подставив найденное значение $v_т$ в выражение для $v_п$:
$v_п = 100 - 40 = 60$
Скорость пассажирского поезда составляет 60 км/ч.

Ответ: скорость пассажирского поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 40 км/ч.