Номер 1071, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1071, страница 213.

Условие.

1071. Найдите значение выражения:

1) $(a^2+1)^2 + (a-1)(a^2+1) - a^2$, если $a = -2$;

2) $(a-1)(a^2+1)(a+1) - (a^2+1)^2$, если $a = \frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Найдем значение выражения $(a^2 + 1)^2 + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$ при $a = -2$.

Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки.

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для первого слагаемого:

$(a^2 + 1)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4 + 2a^2 + 1$.

Раскроем произведение скобок во втором слагаемом:

$(a - 1)(a^2 + 1) = a \cdot a^2 + a \cdot 1 - 1 \cdot a^2 - 1 \cdot 1 = a^3 + a - a^2 - 1$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(a^4 + 2a^2 + 1) + (a^3 + a - a^2 - 1) - a^2 = a^4 + a^3 + (2a^2 - a^2 - a^2) + a + (1 - 1) = a^4 + a^3 + a$.

Подставим значение $a = -2$ в упрощенное выражение:

$(-2)^4 + (-2)^3 + (-2) = 16 - 8 - 2 = 6$.

Ответ: 6

2) Найдем значение выражения $(a - 1)(a^2 + 1)(a + 1) - (a^2 + 1)^2$ при $a = \frac{1}{2}$.

Сначала упростим выражение. Перегруппируем множители в первом члене и используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) - (a^2 + 1)^2$.

Теперь можно вынести общий множитель $(a^2 + 1)$ за скобки:

$(a^2 + 1) \cdot ((a^2 - 1) - (a^2 + 1))$.

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(a^2 + 1) \cdot (a^2 - 1 - a^2 - 1) = (a^2 + 1) \cdot (-2) = -2(a^2 + 1) = -2a^2 - 2$.

Подставим значение $a = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$-2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 2 = -2 \cdot \frac{1}{4} - 2 = -\frac{2}{4} - 2 = -\frac{1}{2} - 2 = -0,5 - 2 = -2,5$.

Ответ: -2,5