Номер 1074, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1074, страница 213.

Условие.

1074. Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных натуральных числа, каждое из которых не делится нацело на 3.

Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать в остатке 0, 1 или 2. Это означает, что любое натуральное число можно представить в одном из следующих видов: $n = 3k$, $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.

Согласно условию задачи, числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Следовательно, ни одно из них не может быть представлено в виде $3k$. Таким образом, каждое из чисел $a$ и $b$ имеет вид либо $3k + 1$, либо $3k + 2$.

Рассмотрим, какой остаток при делении на 3 дает квадрат натурального числа, не кратного 3.

Случай 1: Число имеет вид $n = 3k + 1$.
Возведем его в квадрат:
$n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
Из этого выражения видно, что при делении $n^2$ на 3 в остатке получается 1.

Случай 2: Число имеет вид $n = 3k + 2$.
Возведем его в квадрат:
$n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
В этом случае при делении $n^2$ на 3 в остатке также получается 1.

Таким образом, мы установили, что квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает остаток 1.

Поскольку числа $a$ и $b$ не делятся на 3, их квадраты можно представить в следующем виде:
$a^2 = 3m + 1$
$b^2 = 3p + 1$
где $m$ и $p$ — некоторые целые неотрицательные числа.

Теперь рассмотрим разность их квадратов $a^2 - b^2$:
$a^2 - b^2 = (3m + 1) - (3p + 1) = 3m + 1 - 3p - 1 = 3m - 3p = 3(m - p)$.

Поскольку $m$ и $p$ являются целыми числами, их разность $(m - p)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $3(m - p)$ делится нацело на 3.

Это доказывает, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.