Номер 1076, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1076, страница 214.

Условие.

1076. Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении x:

1) $-x^2 - 4x + 6;$

2) $-x^2 + 16x - 64;$

3) $-x^2 + 8x - 18?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы квадратичное выражение вида $ax^2 + bx + c$ принимало только отрицательные значения при любом значении $x$, необходимо, чтобы график соответствующей квадратичной функции (парабола) полностью находился ниже оси абсцисс. Это возможно при одновременном выполнении двух условий. Во-первых, коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным ($a < 0$), чтобы ветви параболы были направлены вниз. Во-вторых, квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не должно иметь действительных корней, чтобы парабола не пересекала и не касалась оси абсцисс. Для этого дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть отрицательным ($D < 0$).

Проверим каждое из предложенных выражений на соответствие этим условиям.

1) $-x^2 - 4x + 6;$

Для этого выражения коэффициенты равны: $a = -1$, $b = -4$, $c = 6$.

Первое условие ($a < 0$) выполняется, так как $a = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 16 + 24 = 40$.

Так как $D = 40 > 0$, второе условие не выполняется. Парабола пересекает ось Ox, поэтому выражение может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

2) $-x^2 + 16x - 64;$

Для этого выражения коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 16$, $c = -64$.

Первое условие ($a < 0$) выполняется, так как $a = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-64) = 256 - 256 = 0$.

Так как $D = 0$, второе условие не выполняется. Парабола касается оси Ox. Это означает, что выражение принимает отрицательные значения и значение, равное нулю, но не является строго отрицательным при любом $x$.

3) $-x^2 + 8x - 18?$

Для этого выражения коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 8$, $c = -18$.

Первое условие ($a < 0$) выполняется, так как $a = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-18) = 64 - 72 = -8$.

Так как $D = -8 < 0$, второе условие выполняется. Парабола не пересекает ось Ox. Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не имеет точек пересечения с осью Ox, график целиком лежит ниже оси Ox. Следовательно, данное выражение принимает только отрицательные значения при любом $x$.

Ответ: $-x^2 + 8x - 18$