Номер 1057, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1057, страница 211.

Условие.

1057. При каких значениях $a$ и $b$ график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точки $A (1; 3)$ и $B (2; -4)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Если график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точки $A(1; 3)$ и $B(2; -4)$, то координаты этих точек должны удовлетворять данному уравнению. Это означает, что при подстановке координат каждой точки в уравнение мы получим верное равенство. Это позволяет нам составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $b$.

1. Подставим координаты точки $A(1; 3)$, где $x=1$ и $y=3$, в уравнение $ax + by = 8$:

$a \cdot 1 + b \cdot 3 = 8$

$a + 3b = 8$

2. Подставим координаты точки $B(2; -4)$, где $x=2$ и $y=-4$, в то же уравнение:

$a \cdot 2 + b \cdot (-4) = 8$

$2a - 4b = 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} a + 3b = 8 \\ 2a - 4b = 8 \end{cases} $

Для удобства решения, можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$a - 2b = 4$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} a + 3b = 8 \\ a - 2b = 4 \end{cases} $

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $a$:

$(a + 3b) - (a - 2b) = 8 - 4$

$a + 3b - a + 2b = 4$

$5b = 4$

$b = \frac{4}{5}$

Теперь подставим найденное значение $b$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $a$. Например, в уравнение $a - 2b = 4$:

$a - 2 \cdot (\frac{4}{5}) = 4$

$a - \frac{8}{5} = 4$

$a = 4 + \frac{8}{5}$

Приведем 4 к общему знаменателю 5:

$a = \frac{20}{5} + \frac{8}{5}$

$a = \frac{28}{5}$

Таким образом, искомые значения $a$ и $b$ найдены.

Ответ: $a = \frac{28}{5}$, $b = \frac{4}{5}$.