Номер 1052, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1052, страница 210.

Условие.

1052. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5, \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3, \\ \frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} 0,2x - 0,3(2y + 1) = 1,5, \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2; \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы.

Упростим первое уравнение, раскрыв скобки:

$0,2x - 0,6y - 0,3 = 1,5$

Перенесем константу в правую часть:

$0,2x - 0,6y = 1,5 + 0,3$

$0,2x - 0,6y = 1,8$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2x - 6y = 18$

Разделим обе части на 2 для дальнейшего упрощения:

$x - 3y = 9$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки:

$3x + 3 + 3y = 2y - 2$

Сгруппируем переменные в левой части, а константы — в правой:

$3x + 3y - 2y = -2 - 3$

$3x + y = -5$

Получили следующую упрощенную систему:

$$ \begin{cases} x - 3y = 9, \\ 3x + y = -5. \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x = 9 + 3y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$3(9 + 3y) + y = -5$

$27 + 9y + y = -5$

$10y = -5 - 27$

$10y = -32$

$y = -3,2$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 9 + 3(-3,2)$

$x = 9 - 9,6$

$x = -0,6$

Ответ: $(-0,6; -3,2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{15x - 3y}{4} + \frac{3x + 2y}{6} = 3, \\ \frac{3x + y}{3} - \frac{x - 3y}{2} = 6. \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, избавившись от дробей.

Для первого уравнения наименьший общий знаменатель для 4 и 6 равен 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{15x - 3y}{4} + 12 \cdot \frac{3x + 2y}{6} = 12 \cdot 3$

$3(15x - 3y) + 2(3x + 2y) = 36$

$45x - 9y + 6x + 4y = 36$

Приведем подобные слагаемые:

$51x - 5y = 36$

Для второго уравнения наименьший общий знаменатель для 3 и 2 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{3x + y}{3} - 6 \cdot \frac{x - 3y}{2} = 6 \cdot 6$

$2(3x + y) - 3(x - 3y) = 36$

$6x + 2y - 3x + 9y = 36$

Приведем подобные слагаемые:

$3x + 11y = 36$

Получили следующую упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 51x - 5y = 36, \\ 3x + 11y = 36. \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на 17, чтобы коэффициенты при $x$ стали равными:

$17 \cdot (3x + 11y) = 17 \cdot 36$

$51x + 187y = 612$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} 51x - 5y = 36, \\ 51x + 187y = 612. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(51x + 187y) - (51x - 5y) = 612 - 36$

$51x + 187y - 51x + 5y = 576$

$192y = 576$

$y = \frac{576}{192}$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ во второе уравнение упрощенной системы ($3x + 11y = 36$):

$3x + 11(3) = 36$

$3x + 33 = 36$

$3x = 36 - 33$

$3x = 3$

$x = 1$

Ответ: $(1; 3)$.