Номер 1050, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1050, страница 210.

Условие.

1050. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $\begin{cases} 5x + y = 7 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x - 5y = 23 \\ 2x - 7y = 13 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x - 2y = 16 \\ 8x + 3y = 38 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x - 4y = 10 \\ 2x - 3y = -3 \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4a + 6b = 9 \\ 3a - 5b = 2 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 9m - 13n = 22 \\ 2m + 3n = -1 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + y = 7, \\ 7x - 4y = -1. \end{cases} $

Чтобы решить систему методом сложения, умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами, что позволит их сократить при сложении.

$ \begin{cases} 4(5x + y) = 4 \cdot 7, \\ 7x - 4y = -1; \end{cases} $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 20x + 4y = 28, \\ 7x - 4y = -1. \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(20x + 4y) + (7x - 4y) = 28 + (-1)$

$27x = 27$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{27}{27} = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в первое исходное уравнение ($5x + y = 7$), чтобы найти $y$:

$5(1) + y = 7$

$5 + y = 7$

$y = 7 - 5$

$y = 2$

Решением системы является пара чисел $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ 2x - 7y = 13. \end{cases} $

Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$ \begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ -3(2x - 7y) = -3 \cdot 13; \end{cases} $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 6x - 5y = 23, \\ -6x + 21y = -39. \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$(6x - 5y) + (-6x + 21y) = 23 + (-39)$

$16y = -16$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{-16}{16} = -1$

Подставим найденное значение $y=-1$ во второе исходное уравнение ($2x - 7y = 13$), чтобы найти $x$:

$2x - 7(-1) = 13$

$2x + 7 = 13$

$2x = 13 - 7$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Решением системы является пара чисел $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 2y = 16, \\ 8x + 3y = 38. \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2. Это сделает коэффициенты при $y$ противоположными: $-6y$ и $6y$.

$ \begin{cases} 3(5x - 2y) = 3 \cdot 16, \\ 2(8x + 3y) = 2 \cdot 38; \end{cases} $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 15x - 6y = 48, \\ 16x + 6y = 76. \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$(15x - 6y) + (16x + 6y) = 48 + 76$

$31x = 124$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{124}{31} = 4$

Подставим найденное значение $x=4$ в первое исходное уравнение ($5x - 2y = 16$), чтобы найти $y$:

$5(4) - 2y = 16$

$20 - 2y = 16$

$-2y = 16 - 20$

$-2y = -4$

$y = \frac{-4}{-2} = 2$

Решением системы является пара чисел $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 4y = 10, \\ 2x - 3y = -3. \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на 2, а второе на -5.

$ \begin{cases} 2(5x - 4y) = 2 \cdot 10, \\ -5(2x - 3y) = -5 \cdot (-3); \end{cases} $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 10x - 8y = 20, \\ -10x + 15y = 15. \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$(10x - 8y) + (-10x + 15y) = 20 + 15$

$7y = 35$

Отсюда находим $y$:

$y = \frac{35}{7} = 5$

Подставим найденное значение $y=5$ во второе исходное уравнение ($2x - 3y = -3$), чтобы найти $x$:

$2x - 3(5) = -3$

$2x - 15 = -3$

$2x = -3 + 15$

$2x = 12$

$x = \frac{12}{2} = 6$

Решением системы является пара чисел $(6; 5)$.

Ответ: $(6; 5)$

5) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4a + 6b = 9, \\ 3a - 5b = 2. \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $a$, умножим первое уравнение на 3, а второе на -4.

$ \begin{cases} 3(4a + 6b) = 3 \cdot 9, \\ -4(3a - 5b) = -4 \cdot 2; \end{cases} $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 12a + 18b = 27, \\ -12a + 20b = -8. \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$(12a + 18b) + (-12a + 20b) = 27 + (-8)$

$38b = 19$

Отсюда находим $b$:

$b = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} = 0.5$

Подставим найденное значение $b=0.5$ в первое исходное уравнение ($4a + 6b = 9$), чтобы найти $a$:

$4a + 6(0.5) = 9$

$4a + 3 = 9$

$4a = 9 - 3$

$4a = 6$

$a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Решением системы является пара чисел $(1.5; 0.5)$.

Ответ: $(1.5; 0.5)$

6) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9m - 13n = 22, \\ 2m + 3n = -1. \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $m$, умножим первое уравнение на 2, а второе на -9.

$ \begin{cases} 2(9m - 13n) = 2 \cdot 22, \\ -9(2m + 3n) = -9 \cdot (-1); \end{cases} $

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 18m - 26n = 44, \\ -18m - 27n = 9. \end{cases} $

Сложим уравнения почленно:

$(18m - 26n) + (-18m - 27n) = 44 + 9$

$-53n = 53$

Отсюда находим $n$:

$n = \frac{53}{-53} = -1$

Подставим найденное значение $n=-1$ во второе исходное уравнение ($2m + 3n = -1$), чтобы найти $m$:

$2m + 3(-1) = -1$

$2m - 3 = -1$

$2m = -1 + 3$

$2m = 2$

$m = \frac{2}{2} = 1$

Решением системы является пара чисел $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$