Номер 1055, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1055, страница 210.

Условие.

1055. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:

1) $y=2-3x$ и $2x+3y=7;$

2) $5x+6y=-20$ и $2x+9y=25.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Координаты точки пересечения двух прямых являются решением системы уравнений, задающих эти прямые.

1) Даны прямые $y = 2 - 3x$ и $2x + 3y = 7$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2 - 3x \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для `y` из первого уравнения во второе:

$2x + 3(2 - 3x) = 7$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно `x`:

$2x + 6 - 9x = 7$

$-7x = 7 - 6$

$-7x = 1$

$x = -\frac{1}{7}$

Теперь найдем соответствующее значение `y`, подставив найденное значение `x` в первое уравнение системы:

$y = 2 - 3(-\frac{1}{7}) = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$

Координаты точки пересечения: $(-\frac{1}{7}; \frac{17}{7})$.

Ответ: $(-\frac{1}{7}; \frac{17}{7})$.

2) Даны прямые $5x + 6y = -20$ и $2x + 9y = 25$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 2x + 9y = 25 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы коэффициенты при переменной `x` стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 2 \cdot (5x + 6y) = 2 \cdot (-20) \\ -5 \cdot (2x + 9y) = -5 \cdot 25 \end{cases} $

$ \begin{cases} 10x + 12y = -40 \\ -10x - 45y = -125 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(10x + 12y) + (-10x - 45y) = -40 + (-125)$

$10x - 10x + 12y - 45y = -165$

$-33y = -165$

$y = \frac{-165}{-33}$

$y = 5$

Подставим найденное значение `y` в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$2x + 9(5) = 25$

$2x + 45 = 25$

$2x = 25 - 45$

$2x = -20$

$x = -10$

Координаты точки пересечения: $(-10; 5)$.

Ответ: $(-10; 5)$.