Номер 1053, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1053, страница 210.

Условие.

1053. Найдите решение системы уравнений:

1) $$(x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6,$$

$$(x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3;$$

2) $$(x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15,$$

$$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18.$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим первую систему уравнений:

$ \begin{cases} (x - 3)^2 - 4y = (x + 2)(x + 1) - 6 \\ (x - 4)(y + 6) = (x + 3)(y - 7) + 3 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение. Раскроем скобки в обеих частях:

$ x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + x + 2x + 2 - 6 $

$ x^2 - 6x + 9 - 4y = x^2 + 3x - 4 $

Сократим $x^2$ в обеих частях и перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а константы — в другую:

$ -6x - 3x - 4y = -4 - 9 $

$ -9x - 4y = -13 $

Умножим обе части на -1, чтобы получить более удобный вид:

$ 9x + 4y = 13 $

Теперь упростим второе уравнение, также раскрыв скобки:

$ xy + 6x - 4y - 24 = xy - 7x + 3y - 21 + 3 $

$ xy + 6x - 4y - 24 = xy - 7x + 3y - 18 $

Сократим $xy$ в обеих частях и сгруппируем подобные слагаемые:

$ 6x + 7x - 4y - 3y = -18 + 24 $

$ 13x - 7y = 6 $

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 9x + 4y = 13 \\ 13x - 7y = 6 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 4, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$ \begin{cases} 7(9x + 4y) = 7 \cdot 13 \\ 4(13x - 7y) = 4 \cdot 6 \end{cases} \implies \begin{cases} 63x + 28y = 91 \\ 52x - 28y = 24 \end{cases} $

Сложим два уравнения почленно:

$ (63x + 28y) + (52x - 28y) = 91 + 24 $

$ 115x = 115 $

$ x = 1 $

Подставим найденное значение $x = 1$ в уравнение $9x + 4y = 13$:

$ 9(1) + 4y = 13 $

$ 9 + 4y = 13 $

$ 4y = 13 - 9 $

$ 4y = 4 $

$ y = 1 $

Решением системы является пара чисел (1; 1).

Ответ: (1; 1).

2)

Рассмотрим вторую систему уравнений:

$ \begin{cases} (x - y)(x + y) - x(x + 10) = y(5 - y) + 15 \\ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + (y + 2)^2 - 18 \end{cases} $

Упростим первое уравнение. Используем формулу разности квадратов и раскроем остальные скобки:

$ x^2 - y^2 - (x^2 + 10x) = 5y - y^2 + 15 $

$ x^2 - y^2 - x^2 - 10x = 5y - y^2 + 15 $

Сократим $x^2$ и $-y^2$ в обеих частях:

$ -10x = 5y + 15 $

Разделим обе части на 5:

$ -2x = y + 3 $

Выразим $y$:

$ y = -2x - 3 $

Теперь упростим второе уравнение. Раскроем все скобки, используя формулу квадрата суммы/разности:

$ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 4y + 4) - 18 $

$ x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8x + 4y + 2 $

Сократим $x^2$, $y^2$ и константу 2 в обеих частях:

$ 2x - 2y = 8x + 4y $

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$ 0 = 8x - 2x + 4y + 2y $

$ 0 = 6x + 6y $

Разделим обе части на 6:

$ x + y = 0 $

Отсюда $y = -x$.

Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений:

$ \begin{cases} y = -2x - 3 \\ y = -x \end{cases} $

Так как левые части уравнений равны, приравняем и правые части:

$ -x = -2x - 3 $

$ 2x - x = -3 $

$ x = -3 $

Подставим найденное значение $x = -3$ в уравнение $y = -x$:

$ y = -(-3) $

$ y = 3 $

Решением системы является пара чисел (-3; 3).

Ответ: (-3; 3).