Номер 1047, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1047, страница 209.

Условие.

1047. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 8 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + y = 14 \\ 5x - y = 10 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 9y = 11 \\ 7x + 9y = 25 \end{cases}$

4) $\begin{cases} -6x + y = 16 \\ 6x + 4y = 34 \end{cases}$

5) $\begin{cases} 8x + y = 8 \\ 12x + y = 4 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 7x - 5y = 29 \\ 7x + 8y = -10 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 8 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$).
$(x + y) + (x - y) = 6 + 8$
$2x = 14$
$x = \frac{14}{2}$
$x = 7$
Подставим найденное значение $x = 7$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$7 + y = 6$
$y = 6 - 7$
$y = -1$
Ответ: $(7, -1)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + y = 14 \\ 5x - y = 10 \end{cases} $
Сложим два уравнения, так как коэффициенты при $y$ ($1$ и $-1$) являются противоположными числами.
$(3x + y) + (5x - y) = 14 + 10$
$8x = 24$
$x = \frac{24}{8}$
$x = 3$
Подставим значение $x = 3$ в первое уравнение:
$3(3) + y = 14$
$9 + y = 14$
$y = 14 - 9$
$y = 5$
Ответ: $(3, 5)$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 9y = 11 \\ 7x + 9y = 25 \end{cases} $
Сложим уравнения, так как коэффициенты при $y$ ($-9$ и $9$) являются противоположными числами.
$(2x - 9y) + (7x + 9y) = 11 + 25$
$9x = 36$
$x = \frac{36}{9}$
$x = 4$
Подставим значение $x = 4$ в первое уравнение:
$2(4) - 9y = 11$
$8 - 9y = 11$
$-9y = 11 - 8$
$-9y = 3$
$y = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $(4, -1/3)$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} -6x + y = 16 \\ 6x + 4y = 34 \end{cases} $
Сложим уравнения, так как коэффициенты при $x$ ($-6$ и $6$) являются противоположными числами.
$(-6x + y) + (6x + 4y) = 16 + 34$
$5y = 50$
$y = \frac{50}{5}$
$y = 10$
Подставим значение $y = 10$ в первое уравнение:
$-6x + 10 = 16$
$-6x = 16 - 10$
$-6x = 6$
$x = -1$
Ответ: $(-1, 10)$.

5) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 8x + y = 8 \\ 12x + y = 4 \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, умножим второе уравнение на $-1$:
$ \begin{cases} 8x + y = 8 \\ -12x - y = -4 \end{cases} $
Теперь сложим уравнения:
$(8x + y) + (-12x - y) = 8 + (-4)$
$-4x = 4$
$x = -1$
Подставим $x = -1$ в первое исходное уравнение:
$8(-1) + y = 8$
$-8 + y = 8$
$y = 8 + 8$
$y = 16$
Ответ: $(-1, 16)$.

6) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 7x - 5y = 29 \\ 7x + 8y = -10 \end{cases} $
Чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными, умножим второе уравнение на $-1$:
$ \begin{cases} 7x - 5y = 29 \\ -7x - 8y = 10 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(7x - 5y) + (-7x - 8y) = 29 + 10$
$-13y = 39$
$y = \frac{39}{-13}$
$y = -3$
Подставим $y = -3$ в первое исходное уравнение:
$7x - 5(-3) = 29$
$7x + 15 = 29$
$7x = 29 - 15$
$7x = 14$
$x = 2$
Ответ: $(2, -3)$.