Номер 1054, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1054, страница 210.

Условие.

1054. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases}(2x+1)^2 - (2x-y)(2x+y) = (y+8)(y-10), \\4x(x-5) - (2x-3)(2x-9) = 6y - 104;\end{cases}$

2) $\begin{cases}(x-2)(x^2+2x+4) - x(x-4)(x+4) = 20 - 20y, \\(3x-2)(4y+5) = 2y(6x-1) - 58.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} (2x + 1)^2 - (2x - y)(2x + y) = (y + 8)(y - 10) \\ 4x(x - 5) - (2x - 3)(2x - 9) = 6y - 104 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, раскрыв скобки с помощью формул сокращенного умножения:

$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - y^2) = y^2 - 10y + 8y - 80$

$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + y^2 = y^2 - 2y - 80$

Приведем подобные слагаемые:

$4x + 1 = -2y - 80$

$4x + 2y = -81$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки:

$(4x^2 - 20x) - (4x^2 - 18x - 6x + 27) = 6y - 104$

$4x^2 - 20x - (4x^2 - 24x + 27) = 6y - 104$

$4x^2 - 20x - 4x^2 + 24x - 27 = 6y - 104$

Приведем подобные слагаемые:

$4x - 27 = 6y - 104$

$4x - 6y = -77$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 4x + 2y = -81 \\ 4x - 6y = -77 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(4x + 2y) - (4x - 6y) = -81 - (-77)$

$8y = -4$

$y = -1/2$

Подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение $4x + 2y = -81$:

$4x + 2(-1/2) = -81$

$4x - 1 = -81$

$4x = -80$

$x = -20$

Ответ: $(-20; -1/2)$

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x(x - 4)(x + 4) = 20 - 20y \\ (3x - 2)(4y + 5) = 2y(6x - 1) - 58 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, используя формулы сокращенного умножения (разность кубов и разность квадратов):

$(x^3 - 2^3) - x(x^2 - 4^2) = 20 - 20y$

$x^3 - 8 - x(x^2 - 16) = 20 - 20y$

$x^3 - 8 - x^3 + 16x = 20 - 20y$

Приведем подобные слагаемые:

$16x - 8 = 20 - 20y$

$16x + 20y = 28$

Разделим обе части уравнения на 4: $4x + 5y = 7$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки:

$12xy + 15x - 8y - 10 = 12xy - 2y - 58$

Сократим $12xy$ с обеих сторон и приведем подобные слагаемые:

$15x - 8y - 10 = -2y - 58$

$15x - 6y = -48$

Разделим обе части уравнения на 3: $5x - 2y = -16$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 4x + 5y = 7 \\ 5x - 2y = -16 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5:

$\begin{cases} 8x + 10y = 14 \\ 25x - 10y = -80 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(8x + 10y) + (25x - 10y) = 14 - 80$

$33x = -66$

$x = -2$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $4x + 5y = 7$:

$4(-2) + 5y = 7$

$-8 + 5y = 7$

$5y = 15$

$y = 3$

Ответ: $(-2; 3)$