Номер 1051, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1051, страница 210.

Условие.

1051. Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} 2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5, \\ 7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} -2(2x + 1) + 2,5 = 3(y + 2) - 8x, \\ 8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x); \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4; \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} \frac{x + 2}{6} - \frac{y - 3}{15} = 1, \\ \frac{x + 2,5}{9} - \frac{y + 3}{6} = \frac{1}{3}. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 2(4x - 5) - 3(3 + 4y) = 5, \\ 7(6y - 1) - (4 + 3x) = 21y - 86; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы. Первое уравнение:

$8x - 10 - 9 - 12y = 5$

$8x - 12y - 19 = 5$

$8x - 12y = 24$

Разделим обе части на 4:

$2x - 3y = 6$

Теперь упростим второе уравнение:

$42y - 7 - 4 - 3x = 21y - 86$

$42y - 3x - 11 = 21y - 86$

$42y - 21y - 3x = -86 + 11$

$21y - 3x = -75$

Разделим обе части на -3:

$x - 7y = 25$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ x - 7y = 25 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 25 + 7y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(25 + 7y) - 3y = 6$

$50 + 14y - 3y = 6$

$11y = 6 - 50$

$11y = -44$

$y = -4$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$:

$x = 25 + 7(-4) = 25 - 28 = -3$

Ответ: $(-3; -4)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} -2(2x + 1) + 2.5 = 3(y + 2) - 8x, \\ 8 - 5(4 - x) = 6y - (5 - x); \end{cases}$

Упростим первое уравнение:

$-4x - 2 + 2.5 = 3y + 6 - 8x$

$-4x + 0.5 = 3y + 6 - 8x$

$8x - 4x - 3y = 6 - 0.5$

$4x - 3y = 5.5$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$8x - 6y = 11$

Упростим второе уравнение:

$8 - 20 + 5x = 6y - 5 + x$

$-12 + 5x = 6y - 5 + x$

$5x - x - 6y = -5 + 12$

$4x - 6y = 7$

Получили упрощенную систему:

$\begin{cases} 8x - 6y = 11 \\ 4x - 6y = 7 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(8x - 6y) - (4x - 6y) = 11 - 7$

$4x = 4$

$x = 1$

Подставим значение $x$ во второе упрощенное уравнение:

$4(1) - 6y = 7$

$4 - 6y = 7$

$-6y = 3$

$y = -0.5$

Ответ: $(1; -0.5)$.

3)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6} = 4; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):

$6(\frac{x}{2}) - 6(\frac{y}{3}) = 6(3)$

$3x - 2y = 18$

Умножим второе уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 4 и 6):

$12(\frac{3x}{4}) + 12(\frac{5y}{6}) = 12(4)$

$3(3x) + 2(5y) = 48$

$9x + 10y = 48$

Получили систему:

$\begin{cases} 3x - 2y = 18 \\ 9x + 10y = 48 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 5, чтобы использовать метод сложения:

$5(3x - 2y) = 5(18)$

$15x - 10y = 90$

Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:

$(15x - 10y) + (9x + 10y) = 90 + 48$

$24x = 138$

$x = \frac{138}{24} = \frac{23}{4}$

Подставим значение $x$ в уравнение $3x - 2y = 18$:

$3(\frac{23}{4}) - 2y = 18$

$\frac{69}{4} - 2y = 18$

$\frac{69}{4} - \frac{72}{4} = 2y$

$-\frac{3}{4} = 2y$

$y = -\frac{3}{8}$

Ответ: $(\frac{23}{4}; -\frac{3}{8})$.

4)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x + 2}{6} - \frac{y - 3}{15} = 1, \\ \frac{x + 2.5}{9} - \frac{y + 3}{6} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 30 (наименьшее общее кратное для 6 и 15):

$5(x + 2) - 2(y - 3) = 30$

$5x + 10 - 2y + 6 = 30$

$5x - 2y = 14$

Умножим второе уравнение на 18 (наименьшее общее кратное для 9, 6 и 3):

$2(x + 2.5) - 3(y + 3) = 6$

$2x + 5 - 3y - 9 = 6$

$2x - 3y - 4 = 6$

$2x - 3y = 10$

Получили систему:

$\begin{cases} 5x - 2y = 14 \\ 2x - 3y = 10 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:

$3(5x - 2y) = 3(14) \implies 15x - 6y = 42$

$-2(2x - 3y) = -2(10) \implies -4x + 6y = -20$

Сложим полученные уравнения:

$(15x - 6y) + (-4x + 6y) = 42 + (-20)$

$11x = 22$

$x = 2$

Подставим значение $x$ в уравнение $2x - 3y = 10$:

$2(2) - 3y = 10$

$4 - 3y = 10$

$-3y = 6$

$y = -2$

Ответ: $(2; -2)$.