Номер 1046, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1046, страница 207.

Условие.

1046. Найдите все целые числа $x$ и $y$, при которых выполняется равенство

$x + y = xy$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для нахождения всех целых чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих равенству $x + y = xy$, преобразуем данное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:

$xy - x - y = 0$

Чтобы разложить левую часть на множители, можно прибавить 1 к обеим частям уравнения. Этот приём известен как метод выделения целой части или факторизация Саймона:

$xy - x - y + 1 = 1$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части:

$x(y - 1) - 1(y - 1) = 1$

$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку по условию задачи $x$ и $y$ являются целыми числами, то и выражения $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: либо оба множителя равны 1, либо оба равны -1.

Рассмотрим эти два случая:

1. Оба множителя равны 1:

$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем $x = 2$ и $y = 2$.

2. Оба множителя равны -1:

$\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 1 = -1 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем $x = 0$ и $y = 0$.

Таким образом, мы нашли две пары целых чисел, которые являются решениями исходного уравнения.

Проверка:

Для пары $(0, 0)$: $0 + 0 = 0 \times 0 \implies 0 = 0$. Равенство выполняется.

Для пары $(2, 2)$: $2 + 2 = 2 \times 2 \implies 4 = 4$. Равенство выполняется.

Ответ: $(0; 0)$ и $(2; 2)$.