Номер 1039, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1039, страница 206.

Условие.

1039. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 6x + 3 = 5x - 4(5y + 4), \\ 3(2x - 3y) - 6x = 8 - y; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 4}{7} = 1, \\ 6y - x = 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{x + y}{8} + \frac{x - y}{6} = 4, \\ \frac{3x + y}{4} - \frac{2x - 5y}{3} = 5. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} 6x + 3 = 5x - 4(5y + 4), \\ 3(2x - 3y) - 6x = 8 - y; \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение.

Первое уравнение: $6x + 3 = 5x - 20y - 16$ $6x - 5x + 20y = -16 - 3$ $x + 20y = -19$

Второе уравнение: $6x - 9y - 6x = 8 - y$ $-9y + y = 8$ $-8y = 8$ $y = -1$

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его в упрощенное первое уравнение, чтобы найти $x$: $x + 20(-1) = -19$ $x - 20 = -19$ $x = -19 + 20$ $x = 1$

Ответ: $(1; -1)$

2)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} \frac{x + 3}{2} - \frac{y - 4}{7} = 1, \\ 6y - x = 5; \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 7, то есть на 14: $14 \cdot \frac{x + 3}{2} - 14 \cdot \frac{y - 4}{7} = 14 \cdot 1$ $7(x + 3) - 2(y - 4) = 14$ $7x + 21 - 2y + 8 = 14$ $7x - 2y = 14 - 21 - 8$ $7x - 2y = -15$

Теперь система выглядит так: $\begin{cases} 7x - 2y = -15, \\ 6y - x = 5. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $-x = 5 - 6y$ $x = 6y - 5$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение: $7(6y - 5) - 2y = -15$ $42y - 35 - 2y = -15$ $40y = -15 + 35$ $40y = 20$ $y = \frac{20}{40} = 0.5$

Теперь найдем $x$: $x = 6y - 5 = 6(0.5) - 5 = 3 - 5 = -2$

Ответ: $(-2; 0.5)$

3)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} \frac{x + y}{8} + \frac{x - y}{6} = 4, \\ \frac{3x + y}{4} - \frac{2x - 5y}{3} = 5. \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное 8 и 6, то есть на 24: $24 \cdot \frac{x + y}{8} + 24 \cdot \frac{x - y}{6} = 24 \cdot 4$ $3(x + y) + 4(x - y) = 96$ $3x + 3y + 4x - 4y = 96$ $7x - y = 96$

Упростим второе уравнение, умножив его на наименьшее общее кратное 4 и 3, то есть на 12: $12 \cdot \frac{3x + y}{4} - 12 \cdot \frac{2x - 5y}{3} = 12 \cdot 5$ $3(3x + y) - 4(2x - 5y) = 60$ $9x + 3y - 8x + 20y = 60$ $x + 23y = 60$

Теперь решим полученную систему: $\begin{cases} 7x - y = 96, \\ x + 23y = 60. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 7x - 96$

Подставим это выражение во второе уравнение: $x + 23(7x - 96) = 60$ $x + 161x - 2208 = 60$ $162x = 60 + 2208$ $162x = 2268$ $x = \frac{2268}{162} = 14$

Теперь найдем $y$: $y = 7x - 96 = 7(14) - 96 = 98 - 96 = 2$

Ответ: $(14; 2)$