Номер 1038, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1038, страница 206.

Условие.

1038. Найдите решение системы уравнений:

1) $\begin{cases} 6 - 5(x - y) = 7x + 4y, \\ 3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2, \\ 5x - y = 34; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 6y - 5x = 1, \\ \frac{x - 1}{2} + \frac{3y - x}{4} = -4\frac{3}{4}; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{1{,}5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3, \\ \frac{2{,}5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0{,}5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6 - 5(x - y) = 7x + 4y \\ 3(x + 1) - (6x + 8y) = 69 + 3y \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение системы. Раскроем скобки.

Первое уравнение:

$6 - 5x + 5y = 7x + 4y$

Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:

$5y - 4y = 7x + 5x - 6$

$y = 12x - 6$

Второе уравнение:

$3x + 3 - 6x - 8y = 69 + 3y$

$-3x - 8y - 3y = 69 - 3$

$-3x - 11y = 66$

$3x + 11y = -66$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} y = 12x - 6 \\ 3x + 11y = -66 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3x + 11(12x - 6) = -66$

$3x + 132x - 66 = -66$

$135x = 0$

$x = 0$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 12(0) - 6 = -6$

Ответ: (0; -6).

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \\ 5x - y = 34 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на общий знаменатель 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} = 6 \cdot 2$

$3x - 2y = 12$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ 5x - y = 34 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 5x - 34$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x - 2(5x - 34) = 12$

$3x - 10x + 68 = 12$

$-7x = 12 - 68$

$-7x = -56$

$x = 8$

Теперь найдем $y$:

$y = 5(8) - 34 = 40 - 34 = 6$

Ответ: (8; 6).

3) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 6y - 5x = 1 \\ \frac{x - 1}{2} + \frac{3y - x}{4} = -4\frac{3}{4} \end{cases}$

Упростим второе уравнение. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $-4\frac{3}{4} = -\frac{19}{4}$.

$\frac{x - 1}{2} + \frac{3y - x}{4} = -\frac{19}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$2(x - 1) + (3y - x) = -19$

$2x - 2 + 3y - x = -19$

$x + 3y = -17$

Получаем систему:

$\begin{cases} 6y - 5x = 1 \\ x + 3y = -17 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = -17 - 3y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$6y - 5(-17 - 3y) = 1$

$6y + 85 + 15y = 1$

$21y = 1 - 85$

$21y = -84$

$y = -4$

Теперь найдем $x$:

$x = -17 - 3(-4) = -17 + 12 = -5$

Ответ: (-5; -4).

4) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1.5x - 3}{3} + \frac{7 - 3y}{8} = 3 \\ \frac{2.5x - 2}{3} - \frac{2y + 1}{6} = x - 0.5 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, умножив его на общий знаменатель 24:

$8(1.5x - 3) + 3(7 - 3y) = 24 \cdot 3$

$12x - 24 + 21 - 9y = 72$

$12x - 9y - 3 = 72$

$12x - 9y = 75$

Разделим уравнение на 3: $4x - 3y = 25$

Упростим второе уравнение, умножив его на общий знаменатель 6:

$2(2.5x - 2) - (2y + 1) = 6(x - 0.5)$

$5x - 4 - 2y - 1 = 6x - 3$

$5x - 2y - 5 = 6x - 3$

$5x - 6x - 2y = 5 - 3$

$-x - 2y = 2$

$x + 2y = -2$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} 4x - 3y = 25 \\ x + 2y = -2 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = -2 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$4(-2 - 2y) - 3y = 25$

$-8 - 8y - 3y = 25$

$-11y = 25 + 8$

$-11y = 33$

$y = -3$

Теперь найдем $x$:

$x = -2 - 2(-3) = -2 + 6 = 4$

Ответ: (4; -3).