Номер 1036, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1036, страница 205.

Условие.

1036. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 4x - 3y = 15 \\ 3x - 4y = 6 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 3y = 2 \\ 5x + 2y = 24 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5y - 6x = 4 \\ 7x - 4y = -1 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 4x + 5y = 1 \\ 8x - 2y = 38 \end{cases}$

5) $\begin{cases} 5a - 4b = 3 \\ 2a - 3b = 11 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 8m - 2n = 11 \\ 9m + 4n = 8 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 15, \\ 3x - 4y = 6. \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на -4, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными:

$ \begin{cases} 3 \cdot (4x - 3y) = 3 \cdot 15, \\ -4 \cdot (3x - 4y) = -4 \cdot 6. \end{cases} $

$ \begin{cases} 12x - 9y = 45, \\ -12x + 16y = -24. \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы:

$(12x - 9y) + (-12x + 16y) = 45 + (-24)$

$7y = 21$

$y = \frac{21}{7}$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$4x - 3 \cdot 3 = 15$

$4x - 9 = 15$

$4x = 15 + 9$

$4x = 24$

$x = \frac{24}{4}$

$x = 6$

Проверим решение, подставив $x=6$ и $y=3$ во второе уравнение: $3 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$. Равенство верно.

Ответ: $(6; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 2, \\ 5x + 2y = 24. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$ \begin{cases} 2 \cdot (2x - 3y) = 2 \cdot 2, \\ 3 \cdot (5x + 2y) = 3 \cdot 24. \end{cases} $

$ \begin{cases} 4x - 6y = 4, \\ 15x + 6y = 72. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(4x - 6y) + (15x + 6y) = 4 + 72$

$19x = 76$

$x = \frac{76}{19}$

$x = 4$

Подставим $x = 4$ в первое исходное уравнение:

$2 \cdot 4 - 3y = 2$

$8 - 3y = 2$

$-3y = 2 - 8$

$-3y = -6$

$y = \frac{-6}{-3}$

$y = 2$

Проверим решение, подставив $x=4$ и $y=2$ во второе уравнение: $5 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 20 + 4 = 24$. Равенство верно.

Ответ: $(4; 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5y - 6x = 4, \\ 7x - 4y = -1. \end{cases} $

Для удобства приведем уравнения к стандартному виду:

$ \begin{cases} -6x + 5y = 4, \\ 7x - 4y = -1. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5:

$ \begin{cases} 4 \cdot (-6x + 5y) = 4 \cdot 4, \\ 5 \cdot (7x - 4y) = 5 \cdot (-1). \end{cases} $

$ \begin{cases} -24x + 20y = 16, \\ 35x - 20y = -5. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(-24x + 20y) + (35x - 20y) = 16 - 5$

$11x = 11$

$x = 1$

Подставим $x = 1$ во второе исходное уравнение ($7x - 4y = -1$):

$7 \cdot 1 - 4y = -1$

$7 - 4y = -1$

$-4y = -1 - 7$

$-4y = -8$

$y = 2$

Проверим решение, подставив $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение: $5 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 10 - 6 = 4$. Равенство верно.

Ответ: $(1; 2)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 5y = 1, \\ 8x - 2y = 38. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на -2:

$ \begin{cases} -2 \cdot (4x + 5y) = -2 \cdot 1, \\ 8x - 2y = 38. \end{cases} $

$ \begin{cases} -8x - 10y = -2, \\ 8x - 2y = 38. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(-8x - 10y) + (8x - 2y) = -2 + 38$

$-12y = 36$

$y = \frac{36}{-12}$

$y = -3$

Подставим $y = -3$ в первое исходное уравнение:

$4x + 5 \cdot (-3) = 1$

$4x - 15 = 1$

$4x = 16$

$x = 4$

Проверим решение, подставив $x=4$ и $y=-3$ во второе уравнение: $8 \cdot 4 - 2 \cdot (-3) = 32 + 6 = 38$. Равенство верно.

Ответ: $(4; -3)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5a - 4b = 3, \\ 2a - 3b = 11. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5:

$ \begin{cases} 2 \cdot (5a - 4b) = 2 \cdot 3, \\ -5 \cdot (2a - 3b) = -5 \cdot 11. \end{cases} $

$ \begin{cases} 10a - 8b = 6, \\ -10a + 15b = -55. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(10a - 8b) + (-10a + 15b) = 6 - 55$

$7b = -49$

$b = -7$

Подставим $b = -7$ в первое исходное уравнение:

$5a - 4 \cdot (-7) = 3$

$5a + 28 = 3$

$5a = 3 - 28$

$5a = -25$

$a = -5$

Проверим решение, подставив $a=-5$ и $b=-7$ во второе уравнение: $2 \cdot (-5) - 3 \cdot (-7) = -10 + 21 = 11$. Равенство верно.

Ответ: $a = -5, b = -7$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8m - 2n = 11, \\ 9m + 4n = 8. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:

$ \begin{cases} 2 \cdot (8m - 2n) = 2 \cdot 11, \\ 9m + 4n = 8. \end{cases} $

$ \begin{cases} 16m - 4n = 22, \\ 9m + 4n = 8. \end{cases} $

Сложим уравнения:

$(16m - 4n) + (9m + 4n) = 22 + 8$

$25m = 30$

$m = \frac{30}{25} = \frac{6}{5}$

Подставим $m = \frac{6}{5}$ в первое исходное уравнение:

$8 \cdot \frac{6}{5} - 2n = 11$

$\frac{48}{5} - 2n = 11$

$-2n = 11 - \frac{48}{5}$

$-2n = \frac{55}{5} - \frac{48}{5}$

$-2n = \frac{7}{5}$

$n = -\frac{7}{10}$

Проверим решение, подставив $m=\frac{6}{5}$ и $n=-\frac{7}{10}$ во второе уравнение: $9 \cdot \frac{6}{5} + 4 \cdot (-\frac{7}{10}) = \frac{54}{5} - \frac{28}{10} = \frac{108}{10} - \frac{28}{10} = \frac{80}{10} = 8$. Равенство верно.

Ответ: $m = \frac{6}{5}, n = -\frac{7}{10}$.