Номер 1029, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1029, страница 203.

Условие.

1029. Найдите четыре последовательных нечётных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 164.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть первое из четырёх последовательных нечётных натуральных чисел равно $n$. Поскольку последовательные нечётные числа отличаются друг от друга на 2, то следующие три числа будут $n+2$, $n+4$ и $n+6$.

По условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 164. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+2)^2 + (n+4)^2 + (n+6)^2 = 164$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 8n + 16) + (n^2 + 12n + 36) = 164$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(n^2 + n^2 + n^2 + n^2) + (4n + 8n + 12n) + (4 + 16 + 36) = 164$

$4n^2 + 24n + 56 = 164$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$4n^2 + 24n + 56 - 164 = 0$

$4n^2 + 24n - 108 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 4:

$n^2 + 6n - 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $-27$. Подбором находим корни:

$n_1 = 3$

$n_2 = -9$

В условии задачи сказано, что числа должны быть натуральными, то есть целыми и положительными. Корень $n_2 = -9$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи. Корень $n_1 = 3$ является нечётным натуральным числом, следовательно, это и есть первое искомое число.

Теперь найдём остальные три числа:

Первое число: $n = 3$

Второе число: $n+2 = 3+2 = 5$

Третье число: $n+4 = 3+4 = 7$

Четвёртое число: $n+6 = 3+6 = 9$

Таким образом, мы получили четыре последовательных нечётных натуральных числа: 3, 5, 7, 9.

Выполним проверку. Найдём сумму их квадратов:

$3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 9 + 25 + 49 + 81 = 34 + 130 = 164$

Сумма квадратов равна 164, что соответствует условию задачи.

Ответ: 3, 5, 7, 9.