Номер 1022, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1022, страница 202.

Условие.

1022.При каких значениях $a$ система уравнений:

1) $\begin{cases} 7x - 12y = 14, \\ 7x - 12y = a \end{cases}$

не имеет решений;

2) $\begin{cases} 6x + ay = 4, \\ 3x - 5y = 2 \end{cases}$

имеет бесконечно много решений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 7x - 12y = 14, \\ 7x - 12y = a \end{cases} $
Левые части обоих уравнений идентичны ($7x - 12y$). Для того чтобы система имела хотя бы одно решение, правые части уравнений также должны быть равны, то есть $14 = a$. В этом случае система будет иметь бесконечно много решений, так как оба уравнения будут описывать одну и ту же прямую.
Система не имеет решений, если уравнения противоречат друг другу. Это произойдет, если левые части уравнений равны, а правые — нет. Таким образом, система несовместна и не имеет решений при условии, что $a \neq 14$.
Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
Ответ: $a \neq 14$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 6x + ay = 4, \\ 3x - 5y = 2 \end{cases} $
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Это означает, что коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены должны быть пропорциональны.
Запишем соотношение пропорциональности для данной системы:
$ \frac{6}{3} = \frac{a}{-5} = \frac{4}{2} $
Вычислим значения известных отношений:
$ \frac{6}{3} = 2 $
$ \frac{4}{2} = 2 $
Для того чтобы система имела бесконечно много решений, отношение коэффициентов при $y$ также должно быть равно 2:
$ \frac{a}{-5} = 2 $
Отсюда находим значение $a$:
$ a = 2 \cdot (-5) $
$ a = -10 $
При $a = -10$ первое уравнение системы ($6x - 10y = 4$) становится результатом умножения второго уравнения ($3x - 5y = 2$) на 2, следовательно, система имеет бесконечно много решений.
Ответ: $a = -10$.