Номер 1021, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1021, страница 202.

Условие.

1021. При каком значении $a$ имеет бесконечно много решений система уравнений:

1) $\begin{cases} x + 5y = 4, \\ 4x + 20y = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + ay = 12, \\ 9x - 15y = 36? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 5y = 4, \\ 4x + 20y = a \end{cases} $$ Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны. То есть, для системы вида $$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1, \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$ должно выполняться условие: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$ Подставим коэффициенты из данной системы: $$ \frac{1}{4} = \frac{5}{20} = \frac{4}{a} $$ Проверим первую часть равенства: $\frac{5}{20}$ можно сократить на 5, получив $\frac{1}{4}$. Равенство $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ является верным. Теперь найдем значение $a$ из пропорции: $$ \frac{1}{4} = \frac{4}{a} $$ Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $$ 1 \cdot a = 4 \cdot 4 $$ $$ a = 16 $$

Ответ: $a=16$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x + ay = 12, \\ 9x - 15y = 36 \end{cases} $$ Применим то же условие пропорциональности коэффициентов для бесконечного множества решений: $$ \frac{3}{9} = \frac{a}{-15} = \frac{12}{36} $$ Проверим равенство первого и третьего отношений: $$ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $$ Равенство $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ является верным. Теперь найдем значение $a$ из пропорции: $$ \frac{3}{9} = \frac{a}{-15} $$ Упростим левую часть: $$ \frac{1}{3} = \frac{a}{-15} $$ Выразим $a$: $$ 3a = 1 \cdot (-15) $$ $$ 3a = -15 $$ $$ a = \frac{-15}{3} $$ $$ a = -5 $$

Ответ: $a=-5$.