Номер 1024, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1024, страница 202.

Условие.

1024. Подберите такие значения $m$ и $n$, при которых система уравнений

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - my = n \end{cases}$$

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для анализа системы уравнений $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - my = n \end{cases} $ воспользуемся методом сравнения коэффициентов. Общий вид системы двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $. В нашем случае $ a_1=1, b_1=1, c_1=5 $ и $ a_2=3, b_2=-m, c_2=n $.

1) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если уравнения пропорциональны, то есть, одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое число. Это соответствует условию пропорциональности коэффициентов: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Подставим наши коэффициенты в это соотношение:

$ \frac{1}{3} = \frac{1}{-m} = \frac{5}{n} $

Из первой части равенства $ \frac{1}{3} = \frac{1}{-m} $ находим $ m $: $ -m = 3 $, следовательно, $ m = -3 $.

Из второй части равенства $ \frac{1}{3} = \frac{5}{n} $ находим $ n $: $ n = 3 \cdot 5 $, следовательно, $ n = 15 $.

Таким образом, система имеет бесконечно много решений при $ m = -3 $ и $ n = 15 $.

Ответ: $ m = -3 $, $ n = 15 $.

2) имеет единственное решение;

Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда коэффициенты при переменных не пропорциональны: $ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $.

Подставим наши коэффициенты:

$ \frac{1}{3} \ne \frac{1}{-m} $

Это неравенство выполняется, если $ -m \ne 3 $, то есть $ m \ne -3 $. При этом значение параметра $ n $ может быть любым, так как оно не влияет на наклон прямых.

Следовательно, система имеет единственное решение при $ m \ne -3 $ и любом значении $ n $. Например, можно выбрать $ m = 1, n = 1 $.

Ответ: $ m \ne -3 $, $ n $ - любое число.

3) не имеет решений.

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} $.

Подставим наши коэффициенты:

$ \frac{1}{3} = \frac{1}{-m} \ne \frac{5}{n} $

Из равенства $ \frac{1}{3} = \frac{1}{-m} $ мы уже знаем, что $ m = -3 $.

Из неравенства $ \frac{1}{3} \ne \frac{5}{n} $ следует, что $ n \ne 3 \cdot 5 $, то есть $ n \ne 15 $.

Таким образом, система не имеет решений при $ m = -3 $ и $ n \ne 15 $.

Ответ: $ m = -3 $, $ n \ne 15 $.