Номер 1019, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1019, страница 201.

Условие.

1019. К уравнению $x - y = 2$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Исходное уравнение: $x - y = 2$.

Для анализа системы линейных уравнений удобно представить их в виде функций $y(x)$, то есть в форме $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон графика), а $b$ — точка пересечения с осью $y$.

Выразим $y$ из данного уравнения:

$y = x - 2$

Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = 1$, а точка пересечения с осью $y$ соответствует $b_1 = -2$.

Рассмотрим три случая.

1) имеет единственное решение

Система двух линейных уравнений имеет единственное решение, если графики этих уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$).

Поскольку у нас $k_1 = 1$, нам нужно подобрать второе уравнение с любым угловым коэффициентом, не равным 1. Например, выберем $k_2 = -1$.

Простейшее уравнение с таким коэффициентом — это $y = -x$. В стандартном виде оно записывается как $x + y = 0$.

Составим систему:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 0 \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения: $(x - y) + (x + y) = 2 + 0$, что дает $2x = 2$, откуда $x = 1$.

Подставим найденное значение $x = 1$ во второе уравнение: $1 + y = 0$, откуда $y = -1$.

Таким образом, система имеет единственное решение $(1, -1)$.

Ответ: Например, $x + y = 0$.

2) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений полностью совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$) и точки пересечения с осью $y$ также совпадают ($b_1 = b_2$).

Это означает, что второе уравнение должно быть эквивалентно первому. Такое уравнение можно получить, умножив обе части исходного уравнения $x - y = 2$ на любое ненулевое число. Например, умножим на 2:

$2 \cdot (x - y) = 2 \cdot 2$

$2x - 2y = 4$

Получим систему:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \end{cases}$

Если второе уравнение разделить на 2, мы получим первое уравнение: $x - y = 2$. Так как оба уравнения описывают одну и ту же прямую, любая точка этой прямой является решением системы. Следовательно, решений бесконечно много.

Ответ: Например, $2x - 2y = 4$.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а точки пересечения с осью $y$ различны ($b_1 \neq b_2$).

Нам нужно составить уравнение с угловым коэффициентом $k_2 = 1$, но с $b_2 \neq -2$. Возьмем, к примеру, $b_2 = 0$. Уравнение такой прямой — $y = x$.

В стандартной форме это уравнение записывается как $x - y = 0$.

Составим систему:

$\begin{cases} x - y = 2 \\ x - y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $x = y$. Подставив это в первое уравнение, получим $y - y = 2$, что приводит к неверному равенству $0 = 2$. Это означает, что система несовместна и не имеет решений. Геометрически это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.

Ответ: Например, $x - y = 0$.