Номер 1023, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1023, страница 202.

Условие.

1023. Подберите такие значения $a$ и $b$, при которых система уравнений

$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ ax + 4y = b: \end{cases}$

1) имеет бесконечно много решений;

2) имеет единственное решение;

3) не имеет решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Рассмотрим данную систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ ax + 4y = b. \end{cases} $$ Количество решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ зависит от соотношения их коэффициентов. В нашем случае коэффициенты первого уравнения: $A_1=1$, $B_1=-2$, $C_1=3$. Коэффициенты второго уравнения: $A_2=a$, $B_2=4$, $C_2=b$.

1) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений в том случае, когда уравнения являются зависимыми, то есть одно уравнение можно получить из другого путем умножения на некоторое число. Геометрически это означает, что графики уравнений (прямые) совпадают. Для этого необходимо, чтобы отношения всех соответствующих коэффициентов были равны: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$ Подставим значения коэффициентов из нашей системы: $$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} = \frac{3}{b} $$ Сначала найдем значение $a$ из пропорции $\frac{1}{a} = \frac{-2}{4}$. Упростив дробь $\frac{-2}{4}$ до $-\frac{1}{2}$, получим: $$ \frac{1}{a} = -\frac{1}{2} $$ Отсюда следует, что $a = -2$.
Теперь найдем значение $b$ из пропорции $\frac{-2}{4} = \frac{3}{b}$: $$ -\frac{1}{2} = \frac{3}{b} $$ Используя правило перекрестного умножения, получаем $-1 \cdot b = 2 \cdot 3$, что дает $-b = 6$, или $b = -6$.
Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений при $a = -2$ и $b = -6$.

Ответ: при $a = -2$ и $b = -6$.

2) имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Условие для этого выражается через коэффициенты следующим образом: $$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $$ Подставим наши значения: $$ \frac{1}{a} \neq \frac{-2}{4} $$ $$ \frac{1}{a} \neq -\frac{1}{2} $$ Это неравенство будет верным, если $a \neq -2$. При этом значение параметра $b$ может быть любым, так как если прямые не параллельны, они гарантированно пересекутся в одной точке.

Ответ: при $a \neq -2$, $b$ — любое число.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $$ Подставим наши значения: $$ \frac{1}{a} = \frac{-2}{4} \neq \frac{3}{b} $$ Из равенства $\frac{1}{a} = \frac{-2}{4}$ мы уже определили, что $a = -2$.
Теперь рассмотрим неравенство, используя найденное значение $a$: $$ \frac{-2}{4} \neq \frac{3}{b} $$ $$ -\frac{1}{2} \neq \frac{3}{b} $$ Из этого неравенства следует, что $-1 \cdot b \neq 2 \cdot 3$, то есть $-b \neq 6$, или $b \neq -6$.
Таким образом, система не будет иметь решений, если $a = -2$ и $b \neq -6$.

Ответ: при $a = -2$ и $b \neq -6$.