Номер 1025, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1025, страница 202.

Условие.

1025. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases}|x| - y = 0 \\ x - y = -4 \end{cases}$

2) $\begin{cases}|x| - y = 0 \\ x + 3y = 4 \end{cases}$

3) $\begin{cases}y + |x| = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$

4) $\begin{cases}x - |y| = 0 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} |x| - y = 0, \\ x - y = -4. \end{cases} $

Для решения системы графическим методом построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение: $|x| - y = 0$, что эквивалентно $y = |x|$.
График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат:
- $y = x$ при $x \ge 0$.
- $y = -x$ при $x < 0$.

Второе уравнение: $x - y = -4$, что эквивалентно $y = x + 4$.
График этой функции — прямая. Для построения найдем две точки, через которые она проходит:
- при $x = 0$, $y = 4$. Точка $(0; 4)$.
- при $y = 0$, $x = -4$. Точка $(-4; 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат. Решением системы являются координаты точки пересечения графиков.
Прямая $y = x + 4$ параллельна лучу $y = x$ (так как у них одинаковый угловой коэффициент $k=1$), поэтому она не пересекает правую часть графика $y = |x|$.
Найдем точку пересечения прямой $y = x + 4$ с левой частью графика $y = |x|$, то есть с лучом $y = -x$ (для $x < 0$).
Приравняем правые части уравнений:
$-x = x + 4$
$-2x = 4$
$x = -2$
Так как $x = -2 < 0$, это значение входит в рассматриваемый промежуток.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = -(-2) = 2$.
Таким образом, графики пересекаются в одной точке с координатами $(-2; 2)$.

Ответ: $(-2; 2)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} |x| - y = 0, \\ x + 3y = 4. \end{cases} $

Первое уравнение: $|x| - y = 0$, или $y = |x|$. Его график нам уже знаком.

Второе уравнение: $x + 3y = 4$. Выразим $y$:
$3y = 4 - x$
$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
Это уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения:
- при $x = 1$, $y = -\frac{1}{3}(1) + \frac{4}{3} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{3}(4) + \frac{4}{3} = 0$. Точка $(4; 0)$.

Найдем точки пересечения графика $y = |x|$ с прямой $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$.
1. Пересечение с лучом $y=x$ (при $x \ge 0$):
$x = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
$x + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}$
$\frac{4}{3}x = \frac{4}{3}$
$x = 1$.
Поскольку $x=1 \ge 0$, это решение подходит. Тогда $y=x=1$. Первая точка пересечения: $(1; 1)$.
2. Пересечение с лучом $y=-x$ (при $x < 0$):
$-x = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
$-x + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3}$
$-\frac{2}{3}x = \frac{4}{3}$
$x = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -2$.
Поскольку $x=-2 < 0$, это решение подходит. Тогда $y=-x=-(-2)=2$. Вторая точка пересечения: $(-2; 2)$.
Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: $(1; 1)$, $(-2; 2)$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y + |x| = 0, \\ x + y = 2. \end{cases} $

Первое уравнение: $y + |x| = 0$, что эквивалентно $y = -|x|$.
График этой функции — это объединение двух лучей, исходящих из начала координат и направленных вниз:
- $y = -x$ при $x \ge 0$.
- $y = x$ при $x < 0$.

Второе уравнение: $x + y = 2$, что эквивалентно $y = -x + 2$.
График этой функции — прямая. Найдем две точки для ее построения:
- при $x = 0$, $y = 2$. Точка $(0; 2)$.
- при $y = 0$, $x = 2$. Точка $(2; 0)$.

Построим графики и найдем точки пересечения.
1. Рассмотрим случай $x \ge 0$. Уравнения принимают вид $y = -x$ и $y = -x + 2$.
Приравняем правые части: $-x = -x + 2$, что приводит к неверному равенству $0 = 2$. Это означает, что на промежутке $x \ge 0$ графики не пересекаются (прямая $y = -x + 2$ параллельна лучу $y = -x$).
2. Рассмотрим случай $x < 0$. Уравнения принимают вид $y = x$ и $y = -x + 2$.
Приравняем правые части: $x = -x + 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
Однако, полученное значение $x = 1$ не удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, на этом промежутке также нет точек пересечения.
Таким образом, графики не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - |y| = 0, \\ 2x - y = 3. \end{cases} $

Первое уравнение: $x - |y| = 0$, что эквивалентно $x = |y|$.
График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат и симметричных относительно оси $Ox$:
- $x = y$ (или $y=x$) при $y \ge 0$.
- $x = -y$ (или $y=-x$) при $y < 0$.

Второе уравнение: $2x - y = 3$, что эквивалентно $y = 2x - 3$.
График — прямая. Найдем две точки для ее построения:
- при $x = 0$, $y = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x = 3$, $y = 2(3) - 3 = 3$. Точка $(3; 3)$.

Найдем точки пересечения графиков.
1. Рассмотрим случай $y \ge 0$. Уравнения принимают вид $x = y$ и $y = 2x - 3$.
Подставим $x=y$ во второе уравнение: $y = 2y - 3 \implies -y = -3 \implies y = 3$.
Тогда $x = y = 3$. Условие $y=3 \ge 0$ выполняется. Первая точка пересечения: $(3; 3)$.
2. Рассмотрим случай $y < 0$. Уравнения принимают вид $x = -y$ (или $y = -x$) и $y = 2x - 3$.
Подставим $y=-x$ во второе уравнение: $-x = 2x - 3 \implies -3x = -3 \implies x = 1$.
Тогда $y = -x = -1$. Условие $y=-1 < 0$ выполняется. Вторая точка пересечения: $(1; -1)$.
Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: $(3; 3)$, $(1; -1)$.