Номер 1026, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1026, страница 202.

Условие.

1026. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + 2y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |y - 2x| = 3, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ |x + y| = 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + 2y = 3; \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 - y^2 = 0$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$. Это уравнение распадается на два: $x - y = 0$ или $x + y = 0$. Графиком этого уравнения является совокупность двух прямых: $y = x$ (биссектриса I и III координатных четвертей) и $y = -x$ (биссектриса II и IV координатных четвертей).

Второе уравнение $x + 2y = 3$ является уравнением прямой. Выразим $y$ через $x$: $2y = 3 - x$, откуда $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Для построения этой прямой найдем две точки, например, если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2} = 1$, точка $(1, 1)$. Если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{2}(3) + \frac{3}{2} = 0$, точка $(3, 0)$.

Решениями системы являются точки пересечения прямой $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ с прямыми $y = x$ и $y = -x$.

Найдем точку пересечения с прямой $y = x$. Подставим $y = x$ в уравнение $x + 2y = 3$:

$x + 2x = 3$

$3x = 3$

$x = 1$

Так как $y=x$, то $y=1$. Первая точка пересечения: $(1, 1)$.

Найдем точку пересечения с прямой $y = -x$. Подставим $y = -x$ в уравнение $x + 2y = 3$:

$x + 2(-x) = 3$

$x - 2x = 3$

$-x = 3$

$x = -3$

Так как $y=-x$, то $y = -(-3) = 3$. Вторая точка пересечения: $(-3, 3)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 1)$, $(-3, 3)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} |y - 2x| = 3, \\ x - 2y = 0; \end{cases} $

Первое уравнение $|y - 2x| = 3$ по определению модуля распадается на два уравнения: $y - 2x = 3$ или $y - 2x = -3$. Графиком этого уравнения является совокупность двух параллельных прямых: $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 3$.

Второе уравнение $x - 2y = 0$ является уравнением прямой. Выразим $y$ через $x$: $2y = x$, откуда $y = \frac{1}{2}x$. Эта прямая проходит через начало координат.

Решениями системы являются точки пересечения прямой $y = \frac{1}{2}x$ с прямыми $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 3$.

Найдем точку пересечения с прямой $y = 2x + 3$. Приравняем правые части:

$\frac{1}{2}x = 2x + 3$

$x = 4x + 6$

$-3x = 6$

$x = -2$

Тогда $y = \frac{1}{2}(-2) = -1$. Первая точка пересечения: $(-2, -1)$.

Найдем точку пересечения с прямой $y = 2x - 3$. Приравняем правые части:

$\frac{1}{2}x = 2x - 3$

$x = 4x - 6$

$-3x = -6$

$x = 2$

Тогда $y = \frac{1}{2}(2) = 1$. Вторая точка пересечения: $(2, 1)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-2, -1)$, $(2, 1)$.

3)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ |x + y| = 2. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, используя формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Получаем $(x - y)^2 = 4$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, имеем $|x - y| = 2$. Это уравнение распадается на два: $x - y = 2$ или $x - y = -2$. Графиком является совокупность двух параллельных прямых: $y = x - 2$ и $y = x + 2$.

Второе уравнение $|x + y| = 2$ также распадается на два: $x + y = 2$ или $x + y = -2$. Графиком является совокупность двух параллельных прямых: $y = -x + 2$ и $y = -x - 2$.

Решениями системы являются точки, удовлетворяющие обоим уравнениям, то есть точки пересечения прямых из первой пары с прямыми из второй пары.

1. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x + 2$:
$x - 2 = -x + 2 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
$y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

2. Пересечение $y = x - 2$ и $y = -x - 2$:
$x - 2 = -x - 2 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
$y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

3. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x + 2$:
$x + 2 = -x + 2 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
$y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

4. Пересечение $y = x + 2$ и $y = -x - 2$:
$x + 2 = -x - 2 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
$y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Графически эти четыре прямые образуют квадрат, а решениями системы являются его вершины.

Ответ: $(2, 0)$, $(0, -2)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$.