Номер 1031, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1031, страница 203.

Условие.

1031. Остаток при делении числа $a$ на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа $b$ равен 3. Докажите, что значение выражения $a^2 + b^2$ кратно 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Поскольку остаток при делении числа $a$ на 5 равен 4, то число $a$ можно представить в виде $a = 5k + 4$, где $k$ – некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, поскольку остаток при делении числа $b$ на 5 равен 3, то число $b$ можно представить в виде $b = 5m + 3$, где $m$ – некоторое целое число.

Теперь найдем значение выражения $a^2 + b^2$, подставив в него эти представления для $a$ и $b$:

$a^2 + b^2 = (5k + 4)^2 + (5m + 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(5k + 4)^2 = (5k)^2 + 2 \cdot 5k \cdot 4 + 4^2 = 25k^2 + 40k + 16$

$(5m + 3)^2 = (5m)^2 + 2 \cdot 5m \cdot 3 + 3^2 = 25m^2 + 30m + 9$

Сложим полученные выражения:

$a^2 + b^2 = (25k^2 + 40k + 16) + (25m^2 + 30m + 9)$

$a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 25m^2 + 30m + 16 + 9$

$a^2 + b^2 = 25k^2 + 40k + 25m^2 + 30m + 25$

Чтобы доказать, что значение этого выражения кратно 5, нужно показать, что оно делится на 5 без остатка. Для этого вынесем общий множитель 5 за скобки:

$a^2 + b^2 = 5 \cdot (5k^2) + 5 \cdot (8k) + 5 \cdot (5m^2) + 5 \cdot (6m) + 5 \cdot 5$

$a^2 + b^2 = 5(5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5)$

Так как $k$ и $m$ – целые числа, то выражение в скобках $5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5$ также является целым числом. Следовательно, значение выражения $a^2 + b^2$ можно представить в виде произведения числа 5 и некоторого целого числа, а это по определению означает, что оно кратно 5. Что и требовалось доказать.

Ответ: поскольку $a^2 + b^2 = 5(5k^2 + 8k + 5m^2 + 6m + 5)$, где выражение в скобках является целым числом, то значение выражения $a^2 + b^2$ кратно 5.