Номер 1035, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1035, страница 205.

Условие.

1035. Найдите решение системы уравнений:

1) $`\begin{cases} 4x + y = 12 \\ 7x + 2y = 20 \end{cases}`$

2) $`\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + 8y = 1 \end{cases}`$

3) $`\begin{cases} 4y - x = 11 \\ 5x - 2y = 17 \end{cases}`$

4) $`\begin{cases} 6x - y = -1 \\ 2x - 3y = -11 \end{cases}`$

5) $`\begin{cases} x + y = 7 \\ 9y - 2x = -25 \end{cases}`$

6) $`\begin{cases} 5x - 3y = 0 \\ 15x + 2y = 55 \end{cases}`$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4x + y = 12, \\ 7x + 2y = 20. \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 12 - 4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$7x + 2(12 - 4x) = 20$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$7x + 24 - 8x = 20$
$-x = 20 - 24$
$-x = -4$
$x = 4$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 12 - 4 \cdot 4 = 12 - 16 = -4$.

Решением системы является пара чисел $(4; -4)$.

Ответ: $(4; -4)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 8y = 1. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 5 + 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(5 + 2y) + 8y = 1$.

Решим уравнение:
$15 + 6y + 8y = 1$
$14y = 1 - 15$
$14y = -14$
$y = -1$.

Найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 5 + 2(-1) = 5 - 2 = 3$.

Решением системы является пара чисел $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4y - x = 11, \\ 5x - 2y = 17. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:
$-x = 11 - 4y$
$x = 4y - 11$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$5(4y - 11) - 2y = 17$.

Решим уравнение:
$20y - 55 - 2y = 17$
$18y = 17 + 55$
$18y = 72$
$y = \frac{72}{18} = 4$.

Найдем $x$:
$x = 4(4) - 11 = 16 - 11 = 5$.

Решением системы является пара чисел $(5; 4)$.

Ответ: $(5; 4)$.

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 6x - y = -1, \\ 2x - 3y = -11. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$-y = -1 - 6x$
$y = 6x + 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2x - 3(6x + 1) = -11$.

Решим уравнение:
$2x - 18x - 3 = -11$
$-16x = -11 + 3$
$-16x = -8$
$x = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$.

Найдем $y$:
$y = 6(\frac{1}{2}) + 1 = 3 + 1 = 4$.

Решением системы является пара чисел $(\frac{1}{2}; 4)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; 4)$.

5)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 7, \\ 9y - 2x = -25. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 7 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$9y - 2(7 - y) = -25$.

Решим уравнение:
$9y - 14 + 2y = -25$
$11y = -25 + 14$
$11y = -11$
$y = -1$.

Найдем $x$:
$x = 7 - (-1) = 7 + 1 = 8$.

Решением системы является пара чисел $(8; -1)$.

Ответ: $(8; -1)$.

6)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5x - 3y = 0, \\ 15x + 2y = 55. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $-3$:
$-3(5x - 3y) = -3 \cdot 0$
$-15x + 9y = 0$.

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:
$(-15x + 9y) + (15x + 2y) = 0 + 55$.

Приведем подобные члены:
$11y = 55$
$y = 5$.

Подставим найденное значение $y$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $x$:
$5x - 3(5) = 0$
$5x - 15 = 0$
$5x = 15$
$x = 3$.

Решением системы является пара чисел $(3; 5)$.

Ответ: $(3; 5)$.