Номер 1018, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1018, страница 201.

Условие.

1018. К уравнению $2x - 3y = 6$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

В нашем случае первое уравнение задано: $2x - 3y = 6$. Здесь $a_1=2$, $b_1=-3$, $c_1=6$. Нам нужно подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для трех различных случаев, анализируя соотношение коэффициентов.

1) имеет единственное решение

Система уравнений имеет единственное решение, если прямые, которые являются графиками этих уравнений, пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Алгебраически это условие выражается как неравенство отношений коэффициентов при переменных:

$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Подставим известные коэффициенты из первого уравнения:

$\frac{2}{a_2} \neq \frac{-3}{b_2}$

Нам нужно выбрать такие коэффициенты $a_2$ и $b_2$, чтобы это неравенство выполнялось. Например, можно взять простое уравнение, где коэффициенты не пропорциональны заданным. Пусть $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Проверим:

$\frac{2}{1} \neq \frac{-3}{1}$, или $2 \neq -3$. Это верное неравенство.

В качестве свободного члена $c_2$ можно взять любое число, например, $c_2=1$.

Таким образом, второе уравнение может быть $x+y=1$. Система

$ \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ x + y = 1 \end{cases} $

будет иметь единственное решение.

Ответ: можно подобрать уравнение $x+y=1$.

2) имеет бесконечно много решений

Система уравнений имеет бесконечно много решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения. Алгебраически это условие выражается так:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Подставим известные коэффициенты:

$\frac{2}{a_2} = \frac{-3}{b_2} = \frac{6}{c_2}$

Чтобы это равенство выполнялось, второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторое число $k \neq 0$. Например, умножим обе части первого уравнения на 2:

$2 \cdot (2x - 3y) = 2 \cdot 6$

$4x - 6y = 12$

Здесь $a_2 = 4$, $b_2 = -6$, $c_2 = 12$. Проверим отношения:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$; $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Все отношения равны, значит, система будет иметь бесконечно много решений.

Ответ: можно подобрать уравнение $4x-6y=12$.

3) не имеет решений

Система уравнений не имеет решений, если прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет. Алгебраически это условие выглядит так:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

Подставим известные коэффициенты:

$\frac{2}{a_2} = \frac{-3}{b_2} \neq \frac{6}{c_2}$

Мы можем взять коэффициенты $a_2$ и $b_2$ пропорциональными $a_1$ и $b_1$, как и в предыдущем пункте. Например, умножим их на 2, получив $a_2 = 4$ и $b_2 = -6$. Тогда первая часть условия $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}$ (т.е. $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$) будет выполнена.

Теперь нам нужно выбрать $c_2$ так, чтобы отношение $\frac{c_1}{c_2}$ не было равно этому же значению, то есть $\frac{1}{2}$.

$\frac{6}{c_2} \neq \frac{1}{2} \implies c_2 \neq 12$.

Возьмем любое значение для $c_2$, кроме 12. Например, пусть $c_2=1$.

Тогда второе уравнение будет $4x - 6y = 1$.

Проверим полное условие: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} \neq \frac{6}{1}$, или $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq 6$. Условие выполняется, и система не будет иметь решений.

Ответ: можно подобрать уравнение $4x-6y=1$.