Номер 1011, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1011, страница 200.

Условие.

1011. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + 2y = 0 \\ 5x + y = -18 \end{cases}; $

2) $ \begin{cases} 2x - 5y = 10 \\ 4x - y = 2 \end{cases}; $

3) $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ y - x = -2 \end{cases}; $

4) $ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Точка пересечения этих графиков и будет решением системы.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 0, \\ 5x + y = -18. \end{cases}$

Построим график первого уравнения $x + 2y = 0$. Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой найдем две точки.

Выразим $y$ через $x$: $2y = -x$, следовательно, $y = -0.5x$.

• Если $x = 0$, то $y = -0.5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку (0; 0).
• Если $x = 2$, то $y = -0.5 \cdot 2 = -1$. Получаем точку (2; -1).

Теперь построим график второго уравнения $5x + y = -18$. Это также прямая.

Выразим $y$ через $x$: $y = -5x - 18$.

Найдем две точки для этой прямой:

• Если $x = -3$, то $y = -5 \cdot (-3) - 18 = 15 - 18 = -3$. Получаем точку (-3; -3).
• Если $x = -4$, то $y = -5 \cdot (-4) - 18 = 20 - 18 = 2$. Получаем точку (-4; 2).

Построим обе прямые на координатной плоскости. Они пересекаются в точке с координатами (-4; 2).

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения:

$x + 2y = -4 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0$ (верно).

$5x + y = 5 \cdot (-4) + 2 = -20 + 2 = -18$ (верно).

Ответ: (-4; 2).

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 5y = 10, \\ 4x - y = 2. \end{cases}$

Построим график первого уравнения $2x - 5y = 10$.

Выразим $y$: $-5y = -2x + 10$, следовательно, $y = \frac{2}{5}x - 2$.

Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{5} \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку (0; -2).
• Если $x = 5$, то $y = \frac{2}{5} \cdot 5 - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку (5; 0).

Построим график второго уравнения $4x - y = 2$.

Выразим $y$: $-y = -4x + 2$, следовательно, $y = 4x - 2$.

Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 4 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку (0; -2).
• Если $x = 1$, то $y = 4 \cdot 1 - 2 = 2$. Получаем точку (1; 2).

Построим обе прямые. Они пересекаются в точке (0; -2).

Проверка:

$2x - 5y = 2 \cdot 0 - 5 \cdot (-2) = 0 + 10 = 10$ (верно).

$4x - y = 4 \cdot 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$ (верно).

Ответ: (0; -2).

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = -2. \end{cases}$

Построим график первого уравнения $x - 2y = 1$.

Выразим $y$: $-2y = -x + 1$, следовательно, $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

Найдем две точки:

• Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = 0$. Получаем точку (1; 0).
• Если $x = 3$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку (3; 1).

Построим график второго уравнения $y - x = -2$.

Выразим $y$: $y = x - 2$.

Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 2 = -2$. Получаем точку (0; -2).
• Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Получаем точку (2; 0).

Построив графики, находим точку их пересечения: (3; 1).

Проверка:

$x - 2y = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$ (верно).

$y - x = 1 - 3 = -2$ (верно).

Ответ: (3; 1).

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = -1. \end{cases}$

Построим график первого уравнения $x + y = -3$.

Выразим $y$: $y = -x - 3$.

Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -0 - 3 = -3$. Получаем точку (0; -3).
• Если $x = -3$, то $y = -(-3) - 3 = 0$. Получаем точку (-3; 0).

Построим график второго уравнения $x - y = -1$.

Выразим $y$: $-y = -x - 1$, следовательно, $y = x + 1$.

Найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку (0; 1).
• Если $x = -1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Получаем точку (-1; 0).

Построив графики, находим точку их пересечения: (-2; -1).

Проверка:

$x + y = -2 + (-1) = -3$ (верно).

$x - y = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1$ (верно).

Ответ: (-2; -1).