Номер 1016, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1016, страница 201.

Условие.

1016. Имеет ли решение система уравнений:

1) $$\begin{cases}2x - 7y = 6, \\8x - 28y = 24;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}2x + y = -2, \\6x + 3y = 9;\end{cases}$$

3) $$\begin{cases}x + 2y = 0.5, \\2x + 4y = 2?\end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы определить, имеет ли система линейных уравнений с двумя переменными решение, можно сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов. Для системы вида $ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} $ существуют три случая:

• Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, система имеет бесконечное множество решений.
• Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $, система не имеет решений.
• Если $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $, система имеет единственное решение.

Применим этот метод к каждой из предложенных систем.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 7y = 6 \\ 8x - 28y = 24 \end{cases} $

Найдём отношения соответствующих коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-7}{-28} = \frac{1}{4} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $

Поскольку все три отношения равны ($ \frac{2}{8} = \frac{-7}{-28} = \frac{6}{24} $), система имеет бесконечное множество решений. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Ответ: Да, система имеет решения.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = -2 \\ 6x + 3y = 9 \end{cases} $

Найдём отношения соответствующих коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{9} $

В этом случае отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \neq \frac{-2}{9} $. Это означает, что уравнения описывают две параллельные, но не совпадающие прямые. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Нет, система не имеет решений.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 0,5 \\ 2x + 4y = 2 \end{cases} $

Найдём отношения соответствующих коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{0,5}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} $

Здесь также отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{0,5}{2} $. Это означает, что уравнения описывают две параллельные прямые, которые не пересекаются. Таким образом, система не имеет решений.

Ответ: Нет, система не имеет решений.