Номер 1010, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §26. Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными - номер 1010, страница 200.

Условие.

1010. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 2y = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 0, \\ 3x - y = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = -5, \\ 4x - y = -5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x + 3y = 6, \\ 3x - y = 9; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 2x + y = 8, \\ 2x - y = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 7x - 3y = -26, \\ y - 2x = 8. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения систем уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет являться точка (или точки) пересечения этих графиков. Поскольку все уравнения в задаче линейные, их графиками являются прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

1)

$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $

Построим график первого уравнения $x - y = 1$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:
$y = x - 1$.
Это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• при $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• при $x = 3$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Построим график второго уравнения $x + 2y = 7$. Выразим $y$ через $x$:
$2y = 7 - x$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ или $y = -0.5x + 3.5$.
Это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• при $x = 1$, $y = -0.5 \cdot 1 + 3.5 = 3$. Точка $(1, 3)$.
• при $x = 3$, $y = -0.5 \cdot 3 + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Начертив обе прямые в системе координат, мы увидим, что они пересекаются в точке $(3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$

2)

$ \begin{cases} x + y = 0 \\ 3x - y = 4 \end{cases} $

Построим график первого уравнения $x + y = 0$. Выразим $y$ через $x$:
$y = -x$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 1$, $y = -1$. Точка $(1, -1)$.

Построим график второго уравнения $3x - y = 4$. Выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 4$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Прямые пересекаются в точке $(1, -1)$.

Ответ: $(1, -1)$

3)

$ \begin{cases} x + y = -5 \\ 4x - y = -5 \end{cases} $

Построим график первого уравнения $x + y = -5$. Выразим $y$ через $x$:
$y = -x - 5$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = -0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
• при $x = -2$, $y = -(-2) - 5 = 2 - 5 = -3$. Точка $(-2, -3)$.

Построим график второго уравнения $4x - y = -5$. Выразим $y$ через $x$:
$y = 4x + 5$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = 4 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• при $x = -2$, $y = 4 \cdot (-2) + 5 = -8 + 5 = -3$. Точка $(-2, -3)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Прямые пересекаются в точке $(-2, -3)$.

Ответ: $(-2, -3)$

4)

$ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 3x - y = 9 \end{cases} $

Построим график первого уравнения $2x + 3y = 6$. Выразим $y$ через $x$:
$3y = 6 - 2x$
$y = -\frac{2}{3}x + 2$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• при $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Построим график второго уравнения $3x - y = 9$. Выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 9$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 9 = 6 - 9 = -3$. Точка $(2, -3)$.
• при $x = 3$, $y = 3 \cdot 3 - 9 = 9 - 9 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Прямые пересекаются в точке $(3, 0)$.

Ответ: $(3, 0)$

5)

$ \begin{cases} 2x + y = 8 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

Построим график первого уравнения $2x + y = 8$. Выразим $y$ через $x$:
$y = -2x + 8$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$.
• при $x = 2$, $y = -2 \cdot 2 + 8 = -4 + 8 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Построим график второго уравнения $2x - y = 0$. Выразим $y$ через $x$:
$y = 2x$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Прямые пересекаются в точке $(2, 4)$.

Ответ: $(2, 4)$

6)

$ \begin{cases} 7x - 3y = -26 \\ y - 2x = 8 \end{cases} $

Построим график первого уравнения $7x - 3y = -26$. Выразим $y$ через $x$:
$-3y = -7x - 26$
$3y = 7x + 26$
$y = \frac{7}{3}x + \frac{26}{3}$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = -2$, $y = \frac{7}{3}(-2) + \frac{26}{3} = \frac{-14 + 26}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• при $x = 1$, $y = \frac{7}{3}(1) + \frac{26}{3} = \frac{7 + 26}{3} = \frac{33}{3} = 11$. Точка $(1, 11)$.

Построим график второго уравнения $y - 2x = 8$. Выразим $y$ через $x$:
$y = 2x + 8$.
Найдем две точки для построения прямой:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$.
• при $x = -2$, $y = 2 \cdot (-2) + 8 = -4 + 8 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Прямые пересекаются в точке $(-2, 4)$.

Ответ: $(-2, 4)$