Номер 3, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Вопросы к параграфу 26 - номер 3, страница 199.

Условие.

3. Что означает решить систему уравнений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Решить систему уравнений — это значит найти множество всех её решений или доказать, что решений не существует.

Решением системы уравнений с несколькими переменными (например, $x, y, z, \dots$) называется упорядоченный набор чисел, который при подстановке вместо соответствующих переменных обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство. То есть, эти значения должны удовлетворять всем уравнениям системы одновременно.

Например, рассмотрим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 8 \end{cases} $

Проверим, является ли пара чисел $(5, 2)$ решением этой системы. Подставим $x=5$ и $y=2$ в каждое уравнение.
В первом уравнении получим: $5 + 2 = 7$. Это верное равенство ($7 = 7$).
Во втором уравнении получим: $2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$. Это также верное равенство ($8 = 8$).
Поскольку пара чисел $(5, 2)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Теперь проверим другую пару, например, $(6, 1)$.
Первое уравнение: $6 + 1 = 7$. Это верно.
Второе уравнение: $2 \cdot 6 - 1 = 12 - 1 = 11$. Это неверно, так как $11 \neq 8$.
Так как пара $(6, 1)$ не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы.

Таким образом, процесс решения системы уравнений включает в себя нахождение всех таких наборов значений переменных. В результате решения возможны три исхода.
Во-первых, система может иметь единственное решение. Это значит, что существует только один набор чисел, удовлетворяющий всем уравнениям (как в примере выше).
Во-вторых, система может иметь бесконечно много решений. В этом случае существует бесконечное множество наборов чисел, которые являются решениями.
В-третьих, система может не иметь решений (быть несовместной). Это означает, что не существует ни одного набора чисел, который бы удовлетворял всем уравнениям одновременно.

С геометрической точки зрения, для системы двух линейных уравнений с двумя переменными, решение — это нахождение координат точки (или точек) пересечения прямых, которые соответствуют этим уравнениям.

Ответ: Решить систему уравнений — значит найти все наборы значений переменных, которые одновременно удовлетворяют каждому уравнению системы, либо установить, что таких наборов не существует.