Номер 1003, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §25. Линейное уравнение с двумя переменными и его график - номер 1003, страница 194.

Условие.

1003. Разложите на множители:

1) $6x^3 - 8x^2 + 3xy - 4y$

2) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 - 16$

3) $\frac{125x^3}{27} - \frac{m^6n^9}{64}$

4) $c^2 - 2c - b^2 - 4b - 3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $6x^3 - 8x^2 + 3xy - 4y$

Сгруппируем члены многочлена методом группировки.

$(6x^3 - 8x^2) + (3xy - 4y)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $2x^2$, из второй — $y$.

$2x^2(3x - 4) + y(3x - 4)$

Теперь вынесем общий множитель $(3x - 4)$ за скобки.

$(3x - 4)(2x^2 + y)$

Ответ: $(3x - 4)(2x^2 + y)$

2) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 - 16$

Заметим, что первые три члена образуют полный квадрат разности: $x^4 - 6x^2y + 9y^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3y + (3y)^2 = (x^2 - 3y)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$(x^2 - 3y)^2 - 16$

Теперь мы имеем разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = (x^2 - 3y)$ и $b = \sqrt{16} = 4$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$

Ответ: $(x^2 - 3y - 4)(x^2 - 3y + 4)$

3) $\frac{125x^3}{27} - \frac{m^6n^9}{64}$

Это выражение является разностью кубов. Представим каждый член в виде куба:

$\frac{125x^3}{27} = (\frac{5x}{3})^3$

$\frac{m^6n^9}{64} = \frac{(m^2)^3(n^3)^3}{4^3} = (\frac{m^2n^3}{4})^3$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{5x}{3}$ и $b = \frac{m^2n^3}{4}$.

$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})((\frac{5x}{3})^2 + (\frac{5x}{3})(\frac{m^2n^3}{4}) + (\frac{m^2n^3}{4})^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$

Ответ: $(\frac{5x}{3} - \frac{m^2n^3}{4})(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16})$

4) $c^2 - 2c - b^2 - 4b - 3$

Перегруппируем члены, чтобы выделить полные квадраты. Представим $-3$ как $1 - 4$.

$c^2 - 2c + 1 - b^2 - 4b - 4$

Теперь сгруппируем члены:

$(c^2 - 2c + 1) - (b^2 + 4b + 4)$

Каждая скобка представляет собой полный квадрат:

$(c - 1)^2 - (b + 2)^2$

Это разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = (c - 1)$ и $b = (b + 2)$.

$((c - 1) - (b + 2))((c - 1) + (b + 2))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(c - 1 - b - 2)(c - 1 + b + 2) = (c - b - 3)(c + b + 1)$

Ответ: $(c - b - 3)(c + b + 1)$